Suite à divisibilité faible ou forte

En mathématiques, la notion de suite à divisibilité faible ou forte est une notion concernant une suite d'entiers Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikipedia.org/v1/ » :): {\displaystyle (a_n)_{n\geqslant1}} reliant la divisibilité de ses termes à celle de ses indices.

Définitions et premiers exemples

La suite $(a_{n})$ est à divisibilité faible si pour tous entiers $n$ , $k$ > 0, $a_{kn}$ est un multiple de $a_{n}$ , ou, autrement dit :

{\text{si }}n\mid m\,{\text{ alors }}\,a_{n}\mid a_{m}

Le concept peut être généralisé à des suites à valeurs dans un anneau.

En notant $n\land m=\operatorname {pgcd} (n,m)$ , une telle suite vérifie donc pour tous $n$ , m :

$a_{n\land m}\mid a_{n}\land a_{m}$ .

Un exemple simple en est la suite $(a^{n}-b^{n})$ avec $a$ et $b$ entiers, car $a^{kn}-b^{kn}=(a^{n})^{k}-(b^{n})^{k}$ est divisible par $a^{n}-b^{n}$ d'après la formule de Bernoulli.

La suite $(a_{n})$ est à divisibilité forte si pour tous entiers $n$ , m > 0,

a_{n}\land a_{m}=|a_{n\land m}|

Dans le cas où l'application $n\mapsto a_{n}$ est à valeurs positives, cela signifie que cette application est un morphisme pour la loi pgcd.

Toute suite à divisibilité forte est à divisibilité faible[1] car $n\mid m$ si et seulement si $\operatorname {pgcd} (n,m)=n$ .

En plus de l'exemple trivial des suites constantes, un exemple simple est donné par les suites du type $a_{n}=kn,$ car $kn\land km=k(n\land m)$ .

Propriété permettant de passer de la divisibilité faible à la forte

Théorème — Si la suite $(a_{n})$ est à divisibilité faible et vérifie $a_{n}\land a_{m}\mid a_{n-m}$ pour $n>m$ , alors elle est à divisibilité forte.

Démonstration

D'après la divisibilité faible, $a_{n\land m}\mid a_{n}\land a_{m}$ .
D'après la propriété supposée, $a_{n}\land a_{m}\mid a_{n-m}\land a_{m}$ pour $n>m$ donc par anthyphérèse, $a_{n}\land a_{m}\mid a_{n\land m}$ .
Nous en concluons que $a_{n\land m}=a_{n}\land a_{m}$ .

Exemples

Toute suite de Lucas du premier type $U (P, Q)$ est à divisibilité faible, et à divisibilité forte si et seulement si $P$ et $Q$ sont premiers entre eux[2]. Une démonstration se trouve dans la page sur les suites de Lucas.

En particulier sont à divisibilité forte :

La suite de Fibonacci $(F_{n})=U(1,-1)$ .
La suite de Pell $(P_{n})=U(2,-1)$ .
La suite des nombres de Mersenne $(2^{n}-1)=U(2,1)$ .
Plus généralement la suite des répunit en base b $(R_{n}^{b})=U(b+1,b)$ .
Encore plus généralement la suite $\left({\frac {a^{n}-b^{n}}{a-b}}\right)=U(a+b,ab)$ avec $a$ et $b$ entiers premiers entre eux.

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Divisibility sequence » (voir la liste des auteurs).

(en) Graham Everest, Alf van der Poorten, Igor Shparlinski et Thomas Ward, Recurrence Sequences, AMS, 2003 (lire en ligne), p. 70, confondent ces deux notions.
Anne Bauval, « Suites récurrentes linéaires d'ordre 2 à divisibilité forte », RMS, vol. 127, n^o 3,‎ 2017 (arXiv 1606.01594v1).

Voir aussi

Les suites à divisibilité elliptique (en), qui sont à divisibilité faible.
Les fonctions arithmétiques complètement multiplicatives, qui sont des morphismes pour le produit, au lieu du pgcd.

Cet article est issu de wikipedia. Text licence: CC BY-SA 4.0, Des conditions supplémentaires peuvent s’appliquer aux fichiers multimédias.