Silhouette (clustering)

Si l'on note ${\textstyle X}$ la matrice des données, dont chaque ligne correspond à un individu (ou observation) et chaque colonne correspond à un prédicteur (ou variable). On note ${\textstyle N}$ le nombre d'individus et ${\textstyle p}$ le nombre de prédicteurs :

$${\displaystyle X=\left({\begin{array}{ccc}x_{1}^{1}&...&x_{p}^{1}\\\vdots &&\vdots \\x_{1}^{N}&...&x_{p}^{N}\\\end{array}}\right)}$$

Notons ${\textstyle d(x^{i},x^{i'})}$ la dissimilarité entre les individus ${\displaystyle x^{i}=(x_{1}^{i},...,x_{p}^{i})}$ et ${\displaystyle x^{i'}=(x_{1}^{i'},...,x_{p}^{i'})}$ (respectivement, ligne ${\displaystyle i}$ et ${\displaystyle i'}$de ${\displaystyle X}$). Notons ${\displaystyle K\geqslant 2}$ le nombre de groupes que l'on souhaite former.

Un algorithme de partitionnement donnera une fonction d'attribution ${\displaystyle C:[\![1,N]\!]\longrightarrow [\![1,K]\!]}$ dont on cherche à évaluer la pertinence par un score. L'ensemble des points appartenant à un groupe ${\textstyle k}$ est alors donné par ${\textstyle I_{k}=\{i\in [\![1,N]\!]/\ C(i)=k\}}$.

Le coefficient (ou score) de silhouette se définit d'abord sur un point ${\textstyle i}$ dont le groupe est ${\textstyle k=C(i)}$. Il se base sur la distance moyenne du point à son groupe : ${\textstyle a(i)={\frac {1}{\vert I_{k}\vert -1}}\sum _{j\in I_{k},j\neq i}d(x^{i},x^{j})}$ et la distance moyenne du point à son groupe voisin ${\textstyle b(i)=\min _{k'\neq k}{\frac {1}{\vert I_{k'}\vert }}\sum _{i'\in I_{k'}}d(x^{i},x^{i'})}$. Le coefficient de silhouette du point ${\textstyle i}$ s'écrit alors :

$${\displaystyle s_{sil}(i)={\frac {b(i)-a(i)}{\max(a(i),b(i))}}}$$

On peut le moyenner groupe par groupe pour comparer leurs homogénéités : ceux avec les coefficient de silhouette les plus forts sont les plus homogènes. Sur l'ensemble de la classification, il aura pour expression[2] :

$${\displaystyle S_{sil}={\frac {1}{K}}\sum _{k=1}^{K}{\frac {1}{\vert I_{k}\vert }}\sum _{i\in I_{k}}s_{sil}(i)}$$

Le coefficient de silhouette varie entre -1 (pire classification) et 1 (meilleure classification).