Rapport de corrélation

Prenons l’exemple d’une variable quantitative ${\displaystyle y}$ (la taille en cm) et d’une variable qualitative ${\displaystyle x}$ (le genre : femme/homme) dont on dispose pour un ensemble d'individus. Intuitivement, on dira que ces deux variables sont liées si :

1. en moyenne, femmes et hommes ont des tailles différentes ;
2. à genre fixé, les individus sont homogènes (les femmes auraient alors toutes à peu près la même taille ainsi que, de leur côté, les hommes).

Le cadre conceptuel pour formaliser cette intuition est l’équation de l’analyse de variance à un facteur. Cette équation décompose la variabilité totale (celle de tous les individus) en une variabilité inter-classes (écart entre la moyenne des femmes et la moyenne des hommes) et une variabilité intra-classe (variabilité au sein des femmes d’une part et au sein des hommes d’autre part)[1]. Soit :

Variabilité totale = variabilité inter-classes + variabilité intra-classe

Formellement, on utilise classiquement les notations suivantes.

La variable ${\displaystyle x}$ possède ${\displaystyle J}$ modalités (= classes) notées ${\displaystyle j}$ (dans l’exemple ${\displaystyle J=2}$)

${\displaystyle y_{ij}}$ : taille du ${\displaystyle i^{e}}$ individu de la classe ${\displaystyle j}$.

${\displaystyle {\overline {y}}_{.j}}$ : taille moyenne des individus de la classe ${\displaystyle j}$.

${\displaystyle {\overline {y}}}$ : taille moyenne de tous les individus.

${\displaystyle J_{j}}$ : l'ensemble des individus appartenant à la classe ${\displaystyle j}$.

La variabilité est mesurée par la somme des carrés des écarts (SCE). Soit:

• pour l’ensemble des individus :${\displaystyle SCE_{totale}=\sum _{j}\sum _{i\in J_{j}}(y_{ij}-{\bar {y}})^{2}}$ ;

• pour la variabilité intra-classe : ${\displaystyle SCE_{intra}=\sum _{j}\sum _{i\in J_{j}}(y_{ij}-{\overline {y}}_{.j})^{2}}$ ;

• pour la variabilité inter-classes : ${\displaystyle SCE_{inter}=\sum _{j}\sum _{i\in J_{j}}J({\overline {y}}_{.j}-{\overline {y}})^{2}}$.

L’équation d’analyse de variance à un facteur s’écrit :

${\displaystyle SCE_{totale}=SCE_{inter}+SCE_{intra}}$ 

Le carré du rapport de corrélation, noté ${\displaystyle \eta ^{2}}$, est défini par : ${\displaystyle \eta ^{2}(y,x)={\frac {SCE_{inter}}{SCE_{totale}}}}$

C'est le pourcentage de variabilité (de la variable ${\displaystyle y}$) dû aux différences entre classes (de la variable ${\displaystyle x}$)[2]. Cet indicateur varie entre 0 (les classes ont exactement la même moyenne : les variables ne sont pas liées) et 1 (les individus d'une même classe ont exactement la même valeur : les variables sont parfaitement liées puisque lorsque l'on connaît l'une on connaît l'autre).

Les deux formulations sont utilisées. La formulation « carré du rapport » semble un peu plus utilisée. Elle est en phase avec la notation ${\displaystyle \eta ^{2}}$ et permet de considérer le rapport lui-même (cf. interprétation géométrique plus loin). C'est celle que l'on préférera.

On a mesuré la taille de quatre animaux en notant leur sexe (mâle/femelle).

La décomposition de la ${\displaystyle SCE_{totale}}$ est : ${\displaystyle SCE_{totale}=SCE_{inter}+SCE_{intra}}$

Soit, numériquement : ${\displaystyle 29=25+4}$

D'où ${\displaystyle \eta ^{2}={\frac {25}{29}}=0.8621}$

La différence entre mâles et femelles rend compte de 86,24 % de la variabilité totale. De fait, pour cette espèce, les femelles sont plus grandes que les mâles.

Interprétation géométrique du rapport de correlation

Soit ${\displaystyle I}$ le nombre total des individus et ${\displaystyle \mathbb {R} ^{I}}$ l’espace des fonctions sur ${\displaystyle I}$ (une fonction sur ${\displaystyle I}$ affecte une valeur numérique à chaque individu ; c’est donc un vecteur à ${\displaystyle I}$ composantes ; cet espace est communément appelé « espace des variables » en Analyse en composantes principales -ACP)[3]. On considère ci-après les variables centrées. Dans ${\displaystyle \mathbb {R} ^{I}}$, une variable quantitative (centrée ou non) est représentée par un vecteur (ce qui est classique en ACP). Dans ${\displaystyle \mathbb {R} ^{I}}$, une variable qualitative est représenté par un sous-espace, celui des fonctions constantes sur les classes de la variable ${\displaystyle x}$. Ce sous-espace, noté ${\displaystyle E_{x}}$, possède ${\displaystyle J-1}$ dimensions lorsque l’on se limite aux fonctions centrées (${\displaystyle J}$ dimensions sinon). On montre que le rapport de corrélation est égal au cosinus de l’angle ${\displaystyle \theta }$ entre ${\displaystyle Y}$ et la projection de ${\displaystyle Y}$ sur ${\displaystyle E_{x}}$ notée ${\displaystyle P_{E_{x}}(Y)}$.

• Pierre Dagnélie, Statistique théorique et appliquée. Tome 2. Inférence statistique à une et à deux dimensions, Bruxelles, De Boeck, 2011, 3^e éd. (1^re éd. 1998), 736 p. (ISBN 978-2-8041-6336-5)

• Jérôme Pagès, Statistique générale pour utilisateurs. Méthodologie, Rennes, Presses Universitaires de Rennes, 2010, 2^e éd. (1^re éd. 2005), 272 p. (ISBN 978-2-7535-1215-3)