Règle de L'Hôpital sur la monotonie

Le fait que la fonction g' ne soit jamais nulle et garde un signe constant conduit à dire que la fonction g est strictement monotone. Comme elle s'annule en a, elle n'est jamais nulle sur ]a,b[ et a même signe que g'. La fonction h = f/g est donc définie et dérivable sur ]a,b[, et sa dérivée

${\displaystyle h'={\frac {f'}{g}}-{\frac {g'f}{g^{2}}}={\frac {g'}{g}}\left({\frac {f'}{g'}}-{\frac {f}{g}}\right)}$

est de même signe que

${\displaystyle {\frac {f'}{g'}}-{\frac {f}{g}}.}$

Les fonctions f et g étant continues sur [a,b] dérivables sur ]a,b[ et g' ne s'annulant pas sur ]a,b[, pour tout réel x de l'intervalle ]a,b], on peut appliquer le théorème des accroissements finis généralisé à l'intervalle [a,x]. Il existe donc un réel t de l'intervalle ]a,x[ tel que

${\displaystyle {\frac {f(x)}{g(x)}}={\frac {f(x)-f(a)}{g(x)-g(a)}}={\frac {f'(t)}{g'(t)}}~.}$

Supposons la fonction f'/g' strictement croissante, alors l'inégalité t < x conduit à l'inégalité

${\displaystyle {\frac {f'(t)}{g'(t)}}<{\frac {f'(x)}{g'(x)}}}$

autrement dit

${\displaystyle h'(x)>0.}$

La fonction f/g est alors strictement croissante. Un raisonnement analogue peut être fait pour une fonction f'/g' strictement décroissante, ou pour des fonctions s'annulant toutes deux en b.