Propriété de la moyenne

Théorème

Soient $u$ une fonction harmonique sur un ouvert $\Omega \subset \mathbb {R} ^{n}$ et ${\overline {B(x,R)}}$ une boule fermée incluse dans cet ouvert. Alors, la valeur de $u$ au centre $x$ de cette boule est égale à la valeur moyenne de $u$ à sa surface. Cette valeur $u(x)$ est donc aussi égale à la valeur moyenne de $u$ à l'intérieur de la boule. Autrement dit : $u(x)={\frac {1}{n\omega _{n}r^{n-1}}}\int _{\partial B(x,r)}u\,d\sigma ={\frac {1}{\omega _{n}r^{n}}}\int _{B(x,r)}u\,dV$ [1],où $\omega _{n}$ désigne le volume de la boule unité de dimension $n$ et $\sigma$ la mesure de surface sur la $n-1$ -sphère bordant $B(x,R)$ .
Réciproquement[2], une fonction $u$ continue sur $\Omega$ est harmonique dès qu'elle vérifie la propriété de la moyenne, c'est-à-dire dès que :

\forall {\overline {B(x,R)}}\subset \Omega \quad u(x)={\frac {1}{n\omega _{n}r^{n-1}}}\int _{\partial B(x,r)}u\,d\sigma

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Harmonic function#The mean value property » (voir la liste des auteurs).

(en) Piero Bassanini et Alan R. Elcrat, Theory and Applications of Partial Differential Equations, Springer, 2013 (lire en ligne), p. 112, th. 2.1.
Bassanini et Elcrat 2013, p. 118, def. 2.2 et p. 119, th. 2.8.

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