Projection Van der Grinten

Construction du cercle de latitude φ dans la projection de Van der Grinten

La carte est incluse dans un cercle de rayon r. Le parallèle de référence est l'équateur. Le parallèle de référence et le méridien de référence sont représentés par deux diamètres perpendiculaires de ce grand cercle et constituent les axes de la carte[4].

Le canevas de la carte est constitué pour les méridiens et les parallèles d'arcs de cercles. Les méridiens sont des arcs de cercles passant par les pôles et coupant l'équateur à distance régulière. La construction d'un parallèle est plus complexe. Pour une latitude positive, on construit le triangle passant par le pôle nord N et les deux extrémités du diamètre de l'équateur W et E. Si φ est la latitude du parallèle exprimé en degré, on note t_φ le rapport φ/90.

• La corde d'ordonnée rt_φ rencontre le cercle en deux points qui forment avec W et E un trapèze isocèle dont les diagonales se rencontrent en K.
• Cette même corde découpe dans le triangle WNE un trapèze isocèle dont les diagonales se coupent en H. Le droite passant par H et parallèle à WE rencontre le cercle en w et e

Le parallèle de latitude φ est l'arc de cercle wKe[4].

La construction géométrique donnée par van der Grinten peut s'écrire de manière algébrique[4].

Dans la suite , φ est la latitude, λ est la longitude, and λ₀ est le méridien de référence. Les angles sont exprimés en degré, λ - λ₀ variant de -180° à 180° . r est le rayon du cercle dans lequel la représentation cartographique est incluse. Pour tout point non situé sur le méridien de référence ou sur l'équateur, on pose:

${\displaystyle {\begin{aligned}t_{\varphi }&={\frac {\varphi }{90}},\\t_{\lambda }&={\frac {\lambda -\lambda _{0}}{180}},\\\theta &=\arcsin \left|t_{\varphi }\right|,\\A&={\frac {1}{2}}\left|{\frac {1}{t_{\lambda }}}-t_{\lambda }\right|,\\G&={\frac {\cos \theta }{\sin \theta +\cos \theta -1}},\\P&=G\left({\frac {2}{\sin \theta }}-1\right),\\Q&=A^{2}+G.\end{aligned}}}$

Les coordonnées du point de longitude λ et de latitude φ sont :

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=\pm r{\frac {A(G-P^{2})+{\sqrt {A^{2}(G-P^{2})^{2}-(P^{2}+A^{2})(G^{2}-P^{2})}}}{P^{2}+A^{2}}},\\y&=\pm r{\frac {PQ-A{\sqrt {(A^{2}+1)(P^{2}+A^{2})-Q^{2}}}}{P^{2}+A^{2}}},\end{aligned}}}$

Si le point est sur l'équateur, ses coordonnées sur la carte sont :

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=rt_{\lambda },\\y&=0.\end{aligned}}}$

Si le point est sur le méridien de référence, ses coordonnées sur la carte sont :

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=0,\\y&=\pm r\tan {\frac {\theta }{2}}.\end{aligned}}}$