Profondeur d'un module
En algĂšbre commutative, la profondeur d'un module est une mesure de la taille de son support.
DĂ©finition
Soit M un module sur un anneau commutatif A. Un élément a de A est dit M-régulier si le seul vecteur x de M tel que ax = 0 est le vecteur nul. Les éléments A-réguliers sont donc exactement les éléments réguliers de A (éléments non diviseurs de 0).
Une suite (ordonnée) d'éléments de A est appelée une suite M-réguliÚre si pour tout i < n, est régulier pour le module .
Lorsque A est un anneau noethĂ©rien, M est de type fini et I est un idĂ©al de A tel que IM â M, le plus grand entier n tel qu'il existe une suite M-rĂ©guliĂšre d'Ă©lĂ©ments appartenant Ă I est appelĂ© la I-profondeur de M. Si de plus A est local d'idĂ©al maximal m, la m-profondeur de M est simplement appelĂ©e la profondeur de M.
On dit qu'un anneau noethérien A est un anneau de Cohen-Macaulay si pour tout idéal premier P de A, l'anneau local est de profondeur (en tant que -module) égale à sa dimension de Krull.
Exemples
- Tout anneau local régulier est un anneau de Cohen-Macaulay.
- Soit A le localisé de en l'idéal maximal engendré par . C'est un anneau de dimension 1, mais de profondeur nulle car tout élément de son idéal maximal est diviseur de 0.
Propriétés
Soient A, B des anneaux locaux noethériens, un morphisme plat et M un A-module de type fini. Alors
oĂč k est le corps rĂ©siduel de A.
Référence
Bibliographie
(en) Hideyuki Matsumura, Commutative Algebra, 2e Ă©d., Benjamin Cummings, 1980, chap. 6