Problème des deux échelles

On dispose de deux échelles, l’une de ${\displaystyle a=2}$ mètres et l'autre de ${\displaystyle b=3}$ mètres. On les pose dans un couloir l’une à côté de l’autre, leurs extrémités appuyées sur les murs opposés du couloir et les échelles se croisant. Elles se croisent à ${\displaystyle h=1}$ mètre du sol. Quelle est la largeur du couloir ?

Martin Gardner mentionne ce problème en 1979 dans son livre "Mathematical Circus" [4] en citant William Ransom, qui l'a publié en 1953 [5], mais son origine première est inconnue.

Avec les notations de la figure, le but est de connaitre ${\displaystyle x=AB}$.

Or, on peut établir que la hauteur ${\displaystyle h=HM}$ est la moitié de la moyenne harmonique des bases ${\displaystyle AC,BD}$ du trapèze ABCD (la résolution ne demandant que le théorème de Thalès) : ce résultat serait connu du mathématicien indien Mahāvīra en 850 avant JC [6].

De plus, d'après le théorème de Pythagore, ${\displaystyle AC^{2}=a^{2}-x^{2},BD^{2}=b^{2}-x^{2}}$.

On obtient donc l'équation : ${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}+{\frac {1}{\sqrt {b^{2}-x^{2}}}}={\frac {1}{h}}}$.

Pour ${\displaystyle (a,b,h)=(2,3,1)}$, un logiciel de calcul donne pour solution : ${\displaystyle x=1,23118572...}$, voir la suite A173272 de l'OEIS.

L'élimination des racines carrées conduit à l'équation algébrique ${\displaystyle A^{2}B^{2}-2h^{2}AB(A+B)+h^{4}(A-B)^{2}=0}$, où ${\displaystyle A=a^{2}-x^{2},B=b^{2}-x^{2}}$, qui est du huitième degré en ${\displaystyle x}$, mais du quatrième degré en ${\displaystyle x^{2}}$.

Avec les valeurs numériques proposées, l'équation s'écrit

${\displaystyle x^{8}-22x^{6}+163x^{4}-454x^{2}+385=0.}$

Cette équation polynomiale de degré 8 est résoluble par radicaux, et la solution s'écrit :

${\displaystyle x={\sqrt {4-y^{2}}}{\text{ où }}y={\frac {1}{2}}\left(1+{\sqrt {z-4}}+{\sqrt {2{\sqrt {4+z^{2}}}-2{\sqrt {z-4}}-z-3}}\right){\text{ et }}z=5/3+{\sqrt[{3}]{395/27+{\sqrt {5200/27}}}}+{\sqrt[{3}]{395/27-{\sqrt {5200/27}}}}}$

Albert A. Bennett a recherché en 1940 [7] des solutions où les trois longueurs ${\displaystyle a,b,h,x}$ sont entières, et a trouvé la famille :

${\displaystyle {\begin{cases}ka=(su+tv)(s-t)(u+v)\\kb=(sv+tu)(s-t)(u+v)\\kh=(su-tv)(sv-tu)\\kx=2{\sqrt {stuv}}(s-t)(u+v)\end{cases}}}$, où ${\displaystyle s,t,u,v}$ sont des entiers strictement positifs vérifiant les trois conditions :

• ${\displaystyle u>v}$
• ${\displaystyle sv>tu}$
• ${\displaystyle stuv}$ est un carré parfait

${\displaystyle k}$ étant le PGCD des quatre membres de droite.

Par exemple, ${\displaystyle (s,t,u,v)=(8,1,2,1)}$ donne ${\displaystyle a=119,b=70,h=30,x=56}$, avec ${\displaystyle k=3}$.

Une solution en entiers impairs est donnée par ${\displaystyle (s,t,u,v)=(7,1,9,7)}$ : ${\displaystyle (a,b,h,x)=(105,87,35,63)}$, avec ${\displaystyle k=64}$.

Il a été démontré en 1941 que toute solution primitive est de ce type [7].

Il y a même une infinité de solutions où les positions supérieures des échelles ${\displaystyle {\sqrt {a^{2}-x^{2}}},{\sqrt {b^{2}-x^{2}}}}$ sont également entières [8].

(en) Eric W. Weisstein, « Crossed Ladders Problem », sur MathWorld