Principe de D'Alembert

On suppose que le système est caractérisé par un ensemble fini P de points matériels soumis à des contraintes (rigidités, limites du domaine d'évolution, articulations mécaniques, etc.), mais sans frottement.

Définition d'un déplacement virtuel ${\displaystyle \delta {\vec {r}}}$ du système : c'est un déplacement instantané et infinitésimal des points de P, et respectant les contraintes physiques.

Les forces de contraintes sont les forces s'appliquant au corps, faisant qu'il respecte les contraintes physiques (force de réaction de la table sur laquelle est posé le corps, résistance de la rigidité aux forces extérieures,...).

Le principe de D'Alembert dit que l'ensemble des forces de contraintes appliquées à un système ne travaille pas (ne produit ni ne consomme d'énergie) lors d'un déplacement virtuel :

Si les forces de contraintes sont ${\displaystyle {\vec {R}}_{i}}$ pour chaque ${\displaystyle i\in P}$, alors pour tout déplacement virtuel ${\displaystyle \left(\delta {\vec {r}}_{i}\right)_{i\in P}}$ du corps, on a :

${\displaystyle \sum _{i\in P}{\vec {R}}_{i}\cdot \delta {\vec {r}}_{i}=0}$ (équation de d'Alembert),

avec ${\displaystyle \ {\vec {a}}_{i}}$ l'accélération et ${\displaystyle {\vec {F}}_{i}}$ la somme des forces (qui ne sont pas de contrainte) s'exerçant en ${\displaystyle \ i\in P}$, et en utilisant le principe fondamental de la dynamique qui s'écrit ${\displaystyle \textstyle m_{i}.{\vec {a}}_{i}={\vec {F}}_{i}+{\vec {R}}_{i}}$, on obtient

${\displaystyle \sum _{i\in P}\left({\vec {F}}_{i}-m_{i}{\vec {a}}_{i}\right)\cdot \delta {\vec {r}}_{i}=0}$

En coordonnées cartésiennes, et dans un référentiel inertiel, l'équation de D’Alembert et le principe fondamental de la dynamique donnent ${\displaystyle \sum _{i\in P}\left({\vec {F}}_{i}-m_{i}{\vec {a}}_{i}\right)\cdot \delta {\vec {r}}_{i}=0}$ ; avec n coordonnées généralisées on obtient ${\displaystyle \sum _{j=1}^{n}\left(Q_{j}-A_{j}\right)\cdot \delta q_{j}=0}$, où ${\displaystyle \ \left(Q_{j}\right)_{j=1,..,n}}$ et ${\displaystyle \ \left(A_{j}\right)_{j=1,..,n}}$ sont, respectivement, les force et accélération généralisées.

Si les coordonnées généralisées sont indépendantes, alors on peut en déduire ${\displaystyle \ A_{j}=Q_{j}}$, pour tout ${\displaystyle \ j=1,...,n}$.

L'énergie cinétique totale du système s'écrit ${\displaystyle \ T={1 \over 2}\sum _{i\in P}m_{i}\left({\dot {\vec {r}}}_{i}\right)^{2}}$ .

Quelques calculs[1] montrent que ${\displaystyle \ A_{j}={d \over dt}{\frac {\partial T}{\partial {\dot {q}}_{j}}}-{\frac {\partial T}{\partial q_{j}}}}$. On arrive alors à l'égalité ${\displaystyle \ {d \over dt}{\frac {\partial T}{\partial {\dot {q}}_{j}}}-{\frac {\partial T}{\partial q_{j}}}=Q_{j}}$.

D'où, si la force est conservative (c'est-à-dire ${\displaystyle \ Q_{j}=-{\frac {\partial U}{\partial q_{j}}}}$ et ${\displaystyle \ {\frac {\partial U}{\partial {\dot {q}}_{j}}}=0}$) ou bien si ${\displaystyle \ Q_{j}={d \over dt}{\frac {\partial U}{\partial {\dot {q}}_{j}}}-{\frac {\partial U}{\partial q_{j}}}}$ (comme dans le cas de la force électromagnétique), en posant ${\displaystyle \ L=T-U}$ on conclut :

${\displaystyle \ {d \over dt}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{j}}}-{\frac {\partial L}{\partial q_{j}}}=0}$, ce qui est les équations de Lagrange.

Si les coordonnées généralisées ne sont pas indépendantes, et s'il n'y a qu'une contrainte, alors on peut en déduire[2] que ${\displaystyle \ A_{j}-Q_{j}=\lambda .Z_{j}}$, pour tout ${\displaystyle \ j=1,...,n}$, et où ${\displaystyle \ (Z_{j})_{j=1,...,n}}$ est un vecteur proportionnel au vecteur de la force généralisée de la contrainte (et qui est assez facilement calculable pour une contrainte holonome), avec ${\displaystyle \ \lambda =\lambda (q,{\dot {q}},t)}$ le coefficient de proportionnalité associé (multiplicateur de Lagrange). Chaque contrainte ajoute un terme similaire supplémentaire. On obtient alors :

${\displaystyle \ {d \over dt}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{j}}}-{\frac {\partial L}{\partial q_{j}}}=\lambda .Z_{j}}$, ce qui est les équations de Lagrange, avec multiplicateur de Lagrange.