Point absorbant

En analyse mathématique, on dit qu'un point $x$ d'un ensemble $P$ d'un espace vectoriel réel $\mathbb {E}$ est un point absorbant de $P$ si, quel que soit $d\in \mathbb {E}$ , il existe un scalaire $t>0$ , tel que $x+td\in \mathbb {E}$ .

Cas d'un convexe dans un espace vectoriel de dimension finie

Lorsque $P$ est convexe et $\mathbb {E}$ est de dimension finie, les points absorbants sont les points intérieurs à $P$ .

Point absorbant d'un convexe en dimension finie — Soient $\mathbb {E}$ un espace vectoriel de dimension finie, $C$ un convexe de $\mathbb {E}$ et $x\in C$ . Alors les propriétés suivantes sont équivalentes:

$x$ est un point absorbant de $C$ ,
$x$ est intérieur à $C$ ,
$\mathbb {E} =\mathbb {R} _{+}(C-x)$ .

La troisième propriété fait le lien avec le cône des directions admissibles.

Bibliographie

(en) R.T. Rockafellar (1970). Convex Analysis. Princeton Mathematics Ser. 28. Princeton University Press, Princeton, New Jersey.

Cet article est issu de wikipedia. Text licence: CC BY-SA 4.0, Des conditions supplémentaires peuvent s’appliquer aux fichiers multimédias.