Percolation de premier passage

À chaque arête du graphe ${\displaystyle Z^{d}}$, on associe une variable aléatoire positive qui représente le temps nécessaire pour traverser l'arête. On peut alors définir le temps nécessaire pour suivre un chemin : c'est la somme des temps de passage des arêtes qui le composent. Le temps minimal pour aller d'un point ${\displaystyle x}$ à un point ${\displaystyle y}$ est la borne inférieure des temps des chemins qui vont de ${\displaystyle x}$ à ${\displaystyle y}$.

Le résultat le plus célèbre concernant la percolation de premier passage est le suivant : si les temps de passages sont indépendants, distribués suivant une même loi ${\displaystyle \nu }$ intégrable telle ${\displaystyle \nu (\{0\})<p_{c}(Z^{d})}$ et que l'on note ${\displaystyle B_{t}}$ l'ensemble ${\displaystyle \{x\in Z^{d};d(0,x)\leq t\}}$ des points qui peuvent être atteints à partir de l'origine en un temps inférieur ou égal à ${\displaystyle t}$, alors l'ensemble renormalisé ${\displaystyle B_{t}/t}$ converge presque sûrement vers un convexe compact déterministe qui est la boule unité associée à une certaine norme ${\displaystyle \mu }$. La preuve de ce résultat repose essentiellement sur le théorème ergodique sous-additif.