Pendule elliptique

On sait que le problème complet du pendule simple est délicat.

Ici, ne sera traité que le problème des petites oscillations.

Le théorème du moment cinétique appliqué en H dans le référentiel R(H origine), à la masse située en C donne :

${\displaystyle Ml^{2}{\ddot {\theta }}=-Mgl\theta +Ml{\ddot {x}}}$,

soit compte tenu de la relation m.x + M.l.${\displaystyle \theta }$ =0,

d'où la période ${\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {l(M+m)}{gm}}}}$

Remarque: ce problème est usuellement résolu par la méthode des équations de Lagrange, puisqu'il n'y a pas de frottement; on retrouve bien sûr les résultats précédents.

Si les oscillations ne sont pas petites, appliquer le théorème de l'énergie cinétique donne :

${\displaystyle ({\dot {\theta }})^{2}=f(\theta )={\frac {2g(M+m)(h+cos\theta )}{l(Msin^{2}\theta +m)}}}$

donc ${\displaystyle {\ddot {\theta }}=2{\frac {df}{d\theta }}=g}$

On en tire aisément :

N = mg + T cos${\displaystyle \theta }$

avec T tension de la barre :

T = Ml.f +ml/2.g.tan${\displaystyle \theta }$ +Mg/cos${\displaystyle \theta }$

Bien sûr, selon la valeur des données initiales, reflétées par la valeur de h, il y aura comme pour le pendule simple, oscillattions ou tournoiement.

La quadrature donnant ${\displaystyle \theta }$(t)n'est clairement pas facile.

• Pendule simple
• Pendule pesant
• référence : par exemple, Appell, mécanique rationnelle.