Pavage pentagonal

Un pavage pentagonal est, en géométrie, un pavage du plan euclidien par des pentagones.

Les quinze pavages pentagonaux isoédraux possibles.

Un pavage du plan uniquement avec des pentagones réguliers n'est pas possible, car l'angle interne du pentagone (108°) ne divise pas un tour complet (360°). En revanche, on peut considérer le dodécaèdre régulier comme un pavage de la sphère par des pentagones réguliers.

On connait quinze types de pavages pentagonaux, c'est-à-dire employant un même type de tuile pentagonale convexe. Michaël Rao annonce en 2017 que la liste est complète[1], sa preuve est en cours de vérification.

Histoire

Les cinq premiers pavages pentagonaux ont été découverts par le chercheur allemand Karl Reinhardt en 1918[2]. Richard B. Kershner[3] en a ajouté trois en 1968[2], portant le total à huit, et croit pouvoir affirmer qu'il n’en existe pas d'autres[4]. Cette affirmation est reprise dans les articles grand public d'époque[5]. À la suite d'un article de Martin Gardner dans le Scientific American en 1975, Richard E. James, un informaticien, en découvre un neuvième, et Marjorie Rice, mathématicienne amateur découvre quatre nouveaux types en 1976 et 1977, portant le total à treize. En 1985 Rolf Stein, un doctorant allemand[4] en trouve un quatorzième[2].

Le quinzième a été découvert en août 2015 par une équipe de mathématiciens du campus Bothell de l'université de Washington[6] composée de trois mathématiciens : Casey Mann, Jennifer McLoud et David Von Derau[4]. Il s'agit du premier pavage découvert depuis 1985. L'équipe a utilisé un programme sur ordinateur, et découvre ce 15^e pavage pentagonal par une recherche exhaustive. Casey Mann a publié un article sur arXiv (5 octobre 2015)[7] pour résumer ces travaux (« pentagones convexes utilisés pour des pavages i-blocs transitifs »). En 2017, Michaël Rao prouve, aidé de l’ordinateur[8], que cette classification est complète[1]. En 2022 cette preuve est toujours en cours de vérification par la communauté mathématique[9].

Les pavages du plan ont fait l'objet de travaux mathématiques à la frontière entre la géométrie euclidienne plane, la théorie des groupes et la topologie.

Variantes de pavage

Certaines de ces quinze tuiles pentagonales peuvent être agencées de plusieurs façons différentes pour remplir le plan, par exemple dans le pavage pentagonal irrégulier de Bernhard Klaassen[10] - [11] :

Ou encore le pavage irrégulier intitulé "versa-tile" par M. Hirschhorn, qui n'a pas de symétrie axiale. Les tuiles marquées d'un point sont retournées par rapport aux autres :

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Pentagon tiling » (voir la liste des auteurs).

Rao 2017.
Alex Bellos, « Attack on the pentagon results in discovery of new mathematical tile », The Guardian,‎ 11 août 2015 (lire en ligne).
Richard Kershner, « On paving the plane », American Mathematical Monthly, vol. 75,‎ 1968, p. 839–844 (ISSN 0002-9890, DOI 10.2307/2314332, MR 0236822, lire en ligne)
Étienne Ghys, « L'énigme des pentagones », Le Monde, n^o 21991,‎ 30 septembre 2015, p. 1 du Cahier science & médecine.
Jean-Claude Baillif, « Les pavages du plan », Jeux et Stratégie, n^o 19,‎ février - mars 1983, p. 74-76
Clémence Lecornué, « La découverte d'une "tuile" historique secoue le monde des mathématiques », sur Huffington Post, 20 août 2015, traduit de l'article correspondant en anglais.
(en) Casey Mann, Jennifer McLoud-Mann et David Von Derau, « Convex pentagons that admit i-block transitive tilings », sur https://arxiv.org, 5 octobre 2015 (consulté le 12 octobre 2015)
(en) Pentagon Tiling Proof Solves Century-Old Math Problem, sur quantamagazine.org
Yves Coudène, La géométrie élémentaire d'Euclide à aujourd'hui, Calvage & Mounet, coll. « Mathématiques en devenir », 2022, 451 p. (ISBN 978-2-49-323001-0), chap. 10 (« La recherche en géométrie »), p. 400
Bernhard Klaassen, « Rotationally symmetric tilings with convex pentagons and hexagons », Elemente der Mathematik, vol. 71, n^o 4,‎ 2016, p. 137–144 (ISSN 0013-6018, DOI 10.4171/em/310, arXiv 1509.06297)
(en) Auteur inconnu, « Rotationally Symmetric Tilings with Convex Pentagons and Hexagons », 2016.

Voir aussi

Bibliographie

[Grünbaum et Shephard 1987] (en) Branko Grünbaum et G. C. Shephard, Tilings and Patterns, New York, W. H. Freeman and Company, 1987, 700 p. (ISBN 978-0-7167-1193-3, LCCN 86002007), « Tilings by polygons »
[Garnder 1988] (en) Martin Gardner, Time Travel and Other Mathematical Bewilderments, New York, W. H. Freeman and Company, 1988, 5^e éd., 295 p., poche (ISBN 978-0-7167-1925-0, LCCN 87011849), « Tiling with Convex Polygons »
Jean-Paul Delahaye, « Les pavages pentagonaux : une classification qui s’améliore », Pour la Science, n^o 432,‎ octobre 2013 (présentation en ligne).
[Rao 2017] (en) Michaël Rao, « Exhaustive search of convex pentagons which tile the plane », Prépublication,‎ 1^er mai 2017 (lire en ligne)
Jean-Paul Delahaye, « Paver le plan avec un pentagone convexe », Pour la science, n^o 482,‎ décembre 2017, p. 80-85
Doris Schattschneider, « Tiling the plane with congruent pentagons », Mathematics Magazine, vol. 51, n^o 1,‎ 1978, p. 29–44 (ISSN 0025-570X, DOI 10.2307/2689644, JSTOR 2689644, MR 0493766)

Liens externes

(en) Eric W. Weisstein, « Pentagon Tiling », sur MathWorld
(en) The 14 Pentagons that Tile the Plane (Mathpuzzle.com)
El Jj, « J'ai toujours rêvé d'être pentocarreleur », sur Choux romanesco, vache qui rit et intégrales curvilignes, 13 septembre 2015
Étienne Ghys, « L’Énigme des pentagones », sur Images des mathématiques, CNRS, 28 octobre 2011

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