Pavage en moulin à vent

Soit T le triangle droit de côté 1, 2 et d'hypoténuse √5. Conway a compris que T peut être divisé en 5 copies isométriques de son image par une homothétie de coefficient 1/√5 à l'aide de mises à l'échelle, de translations et de rotations adéquates. Cette opération peut être répétée pour obtenir une suite infinie de triangles tous copies isométriques de T. L'union de tous ces triangles donne un pavage constitué par des copies isométriques de T.

Dans ce pavage, des copies isométriques apparaissent dans une infinité d’orientations (cela est dû aux angles arctan(1/2) et arctan(2) de T, tous deux non commensurables avec π). En dépit de cela, tous les sommets ont des coordonnées rationnelles.

Étapes

Le triangle T en position initiale est appelé triangle standard quand ses côtés ont pour coordonnées (-0,5 ; -0,5), (0,5 ; -0,5), (-0,5 ; 1,5). Si on multiplie ce triangle standard par la matrice ${\displaystyle Mp=\scriptstyle {\begin{pmatrix}2&1\\-1&2\end{pmatrix}}}$, il peut être divisé en 5 triangles Pinwheel de la taille initiale. Ceci est appelé la règle agrandir et subdiviser, ou encore, la règle de substitution Pinwheel.

• (en) Michael Whittaker, « The fractal dual of the pinwheel tiling », 26 juin 2012 (conférence en 29 diapos)
• (en) Michael Baake, Dirk Frettlöh et Uwe Grimm, « Pinwheel patterns and powder diffraction », Philos. Mag., vol. 87, n^os 18-21,‎ 2007, p. 2831-2838 (lire en ligne)
• (en) Natalie Priebe Frank et Michael F. Whittaker, « A fractal version of the pinwheel tiling », Math. Intell., vol. 33, n^o 2,‎ 2011, p. 7-17 (DOI 10.1007/s00283-011-9212-9), arXiv:1001.2203

• Art fractal
• Dimension de Hausdorff
• Liste de fractales par dimension de Hausdorff

• Pinwheel sur le site "Tilings Encyclopedia"
• Implémentation : version « nue » et version avec du CSS+HTML