Oscillation pendulaire de marée

La Terre est supposée sphérique, donc le potentiel d'une masse m, à la distance r vaut: - mgR²/r.

Soit un haltère A(masse M), AB =d, B (masse m), satellisée circulairement à la distance OG = r, OBGA en ligne droite.

Trouver la vitesse de rotation. Trouver la tension de la barre (effet de marée). Que se passe-t-il si l'angle (GO,GB) = ${\displaystyle \theta }$ ?

La réponse à ces 3 questions préparera au problème redoutable du contrôle d'attitude des satellites.

• Vitesse de rotation :

comme il est bien connu, la force de gravitation contrairement à la force de pesanteur ne passe pas par G et ne vaut pas (M+m). g(G). Le théorème du centre de masse est bien sûr valide :

-(M+m)V²/r = - gR²[M/(r+a)² + m/(r-b)²] d'où V

approximativement : V² = gR.(R/r)[1 + 3 c²/r² +o(1/r²)], où

on a posé : J = (Ma² +mb²) := (M+m)c².

• Tension de marée :

B est plus attirée gravitationnellement que A et étant plus près de O devrait tourner plus vite que G, mais est retenu par la tension T :

- m ${\displaystyle \omega ^{2}}$ (r-b) = -mgR²/(r-b)² +T :

soit T = 3m ${\displaystyle \omega ^{2}}$ b au plus bas ordre.

Le même raisonnement tenu pour A donne Le même résultat. Si cette tension n'existait pas, le satellite se désagrègerait, par effet dit de marée (gravitation différentielle au niveau de A et B).

• Couple de rappel :

Si le satellite est incliné d'un angle ${\displaystyle \theta }$, au niveau de G il existe un moment des forces en A et B qui vont provoquer un pivotement du satellite : J ${\displaystyle {\ddot {\theta }}}$ = Moment.

Ce moment vaut : m.GB ^ g(B) + M.GA ^ g(A) = m.GB ^ g'(B) + M.GA ^g'(A), où l'on a posé g'(M) := g(M)-g(G), gravité différentielle.

A l'ordre le plus bas, le calcul donne : Moment = - 3J ${\displaystyle \omega ^{2}}$ sin${\displaystyle \theta }$.cos${\displaystyle \theta }$

D'où dans R(G en translation):

J ( ${\displaystyle \omega }$t +${\displaystyle \theta }$)" = Moment

d'où 1/2 J ${\displaystyle ({\dot {\theta }})^{2}}$ + 3 J/4 ${\displaystyle \omega ^{2}}$.(1-cos(2${\displaystyle \theta }$)) = cste.

Il en résulte que les positions OBGA et OAGB sont stables, mais les positions AB orthogonal à OG sont instables.

Les petites oscillations ont une pulsation ${\displaystyle \omega {\sqrt {(}}3)}$, ce qui est un des théorèmes de Lure. On parlera d'oscillations pendulaires de marée en ${\displaystyle \omega {\sqrt {(}}3)}$.

Ce résultat peut être généralisé à n'importe quel pivotement plan d'un solide quelconque : en effet, dans ce cas, dit 2D, un corps solide se caractérise dynamiquement seulement par J et sa masse totale. Or on peut toujours avoir un corps en haltère de même J et de même masse.

D'autre part, le calcul du moment des forces de gravitation n'a fait intervenir pour chaque masse que la quantité m GB² : donc pour la somme des masses, on retrouve la même quantité pour le moment.

Le théorème de Lure reste vrai : ${\displaystyle \omega {\sqrt {(}}3)}$

• Le mouvement képlérien de G n'est pas remis en cause :

${\displaystyle M{\ddot {\vec {OG}}}={\vec {R}}(gravitation)=M{\vec {g(G)}}(1+o(c^{2}/r^{2}))}$

avec c << r.Nous supposerons ce mouvement circulaire pour simplifier, avec loi de Kepler ordinaire ${\displaystyle \omega ^{2}r^{3}=gR^{2}}$

• Il reste le mouvement de rotation 3D autour de G, ce qu'on appelle l"attitude du satellite".

Le référentiel est choisi: R'(G origine ,${\displaystyle {\vec {\omega }}}$= vecteur rotation). On pose OG = r u, et k ^ u = v.

Il faut calculer le torseur des forces d'inertie de Coriolis, celui des forces d'inertie axifuges, celui des forces de gravitation.

• phase géométrique
• pendule simple
• Libration