Ordre normal

Considérons un opérateur quelconque ${\displaystyle {\hat {O}}}$, alors l'ordre normal de ${\displaystyle {\hat {O}}}$ est noté ${\displaystyle {\mathcal {N}}({\hat {O}})}$ ou ${\displaystyle {\mathopen {:}}{\hat {O}}{\mathclose {:}}}$.

L'ordre normal est linéaire, dans le sens où si ${\displaystyle {\hat {A}}}$ et ${\displaystyle {\hat {B}}}$ sont deux opérateurs, on a

${\displaystyle {\mathopen {:}}{\hat {A}}+{\hat {B}}{\mathclose {:}}={\mathopen {:}}{\hat {A}}{\mathclose {:}}+{\mathopen {:}}{\hat {B}}{\mathclose {:}}}$.

Pour un mode de boson d'opérateur de création ${\displaystyle {\hat {b}}^{\dagger }}$ et d'opérateur d'annihilation ${\displaystyle {\hat {b}}}$, la mise en ordre normal consiste simplement à réordonner les opérateurs pour mettre les opérateurs de création à gauche.

Par exemple,

${\displaystyle$ :{\hat {b}}^{\dagger }\,{\hat {b}}:\,={\hat {b}}^{\dagger }\,{\hat {b}}.}

L'expression n'a pas changé parce que ${\displaystyle {\hat {b}}^{\dagger }\,{\hat {b}}}$ est déjà normalement ordonné. Par contre,

${\displaystyle$ :{\hat {b}}\,{\hat {b}}^{\dagger }:\,={\hat {b}}^{\dagger }\,{\hat {b}}.}

En utilisant la relation de commutation des opérateurs bosoniques, on en déduit que

${\displaystyle {\hat {b}}\,{\hat {b}}^{\dagger }={\hat {b}}^{\dagger }\,{\hat {b}}+1=\,:{\hat {b}}\,{\hat {b}}^{\dagger }:+1.}$

Un exemple contenant plus d'opérateurs est

${\displaystyle$ :{\hat {b}}^{\dagger }\,{\hat {b}}\,{\hat {b}}\,{\hat {b}}^{\dagger }\,{\hat {b}}\,{\hat {b}}^{\dagger }\,{\hat {b}}:\,={\hat {b}}^{\dagger }\,{\hat {b}}^{\dagger }\,{\hat {b}}^{\dagger }\,{\hat {b}}\,{\hat {b}}\,{\hat {b}}\,{\hat {b}}=({\hat {b}}^{\dagger })^{3}\,{\hat {b}}^{4}.}

On peut aussi déterminer l'ordre normal de fonctions d'opérateurs en utilisant leur développement en série. Par exemple,

${\displaystyle$ :\exp(\lambda {\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}):\,=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\lambda ^{n}}{n!}}{\hat {a}}^{\dagger n}{\hat {a}}^{n}}

Dans le cas des fermions, on fait de même que pour les bosons, en multipliant le résultat par un signe moins à chaque fois qu'on fait commuter deux opérateurs.

Par exemple, pour une expression déjà dans l'ordre normal,

${\displaystyle$ :{\hat {f}}^{\dagger }\,{\hat {f}}:\,={\hat {f}}^{\dagger }\,{\hat {f}}}

Par contre, dans le cas où il faut échanger ${\displaystyle {\hat {f}}}$ et ${\displaystyle {\hat {f}}^{\dagger }}$, il faut ajouter un signe :

${\displaystyle$ :{\hat {f}}\,{\hat {f}}^{\dagger }:\,=-{\hat {f}}^{\dagger }\,{\hat {f}}}

Dans le cas où il n'y a qu'un seul fermion, les expressions d'ordre supérieur sont nulles puisqu'il apparaît au moins deux opérareurs de création ou d'annihilation. Par exemple

${\displaystyle$ :{\hat {f}}\,{\hat {f}}^{\dagger }\,{\hat {f}}{\hat {f}}^{\dagger }:\,={\hat {f}}^{\dagger }\,{\hat {f}}^{\dagger }\,{\hat {f}}\,{\hat {f}}=0}

• S. Weinberg, The Quantum Theory of Fields (Volume I) Cambridge University Press (1995)