Opérateur retard

Pour un décalage de plusieurs unités, on utilise plusieurs fois de suite cet opérateur, ce que l'on note L élevé à une certaine puissance (l'exposant doit s'entendre au sens de la composition). Ainsi

${\displaystyle \,L^{k}X_{t}=X_{t-k}.\,}$

Une généralisation est de décaler non-plus dans le passé mais dans le futur, par un exposant négatif. Par exemple, on pose

${\displaystyle \,L^{-1}X_{t}=X_{t+1}\,}$.

On peut combiner les propriétés précédentes pour former un polynôme retard, appelé encore polynôme caractéristique. Ce genre de polynôme est utilisé pour simplifier l'écriture des modèles de classe ARMA (autorégressifs et moyenne mobile). Par exemple, pour le modèle AR(1):

${\displaystyle X_{t}=c+\varphi X_{t-1}+\varepsilon _{t}\Rightarrow (1-\varphi L)X_{t}=c+\varepsilon _{t}}$

Et pour le modèle AR(p)

${\displaystyle X_{t}=\sum _{i=1}^{p}\varphi _{i}X_{t-i}+\varepsilon _{t}\Rightarrow \left(1-\varphi _{1}L^{1}-\varphi _{2}L^{2}-\ldots -\varphi _{p}L^{p}\right)X_{t}=\left(1-\sum _{i=1}^{p}\varphi _{i}L^{i}\right)X_{t}=\varepsilon _{t}\,}$

Cela permet d'avoir une notation très concise d'un modèle ARMA(p,q):

${\displaystyle \Phi X_{t}=\Theta \varepsilon _{t}\,}$

où Φ et Θ représentent les polynômes retard associés aux composantes autorégressives (AR) et en moyenne mobile (MA):

${\displaystyle \Phi =1-\sum _{i=1}^{p}\varphi _{i}L^{i}\,}$

et

${\displaystyle \Theta =1+\sum _{i=1}^{q}\theta _{i}L^{i}.\,}$

L'opérateur de différence première ${\displaystyle \Delta }$ est un polynôme retard spécial:

${\displaystyle {\begin{array}{lcr}\Delta X_{t}&=X_{t}-X_{t-1}\\\Delta X_{t}&=(1-L)X_{t}\end{array}}}$

De manière similaire, l'opérateur de différence seconde est

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta (\Delta X_{t})&=\Delta X_{t}-\Delta X_{t-1}\\\Delta (\Delta X_{t})&=X_{t}-2X_{t-1}+X_{t-2}\\\Delta ^{2}X_{t}&=(1-L)\Delta X_{t}\\\Delta ^{2}X_{t}&=(1-L)(1-L)X_{t}\\\Delta ^{2}X_{t}&=(1-L)^{2}X_{t}\end{aligned}}}$

L'approche précédente se généralise à la i-ème différence ${\displaystyle \Delta ^{i}X_{t}=(1-L)^{i}X_{t}\ }$

• modèle autorégressif (AR);
• modèle moyenne-mobile (MA);
• modèle autorégressif moyenne-mobile (ARMA);
• Transformée en Z.