D'alembertien

Le d'alembertien, ou opérateur d'alembertien, est la généralisation du concept du laplacien dans une métrique minkowskienne. Il apparaît en particulier en électromagnétisme pour décrire la propagation des ondes électromagnétiques ainsi que dans l'équation de Klein-Gordon.

Formule

Le d'alembertien, en général noté par un carré ${\displaystyle \Box }$, s'écrit, dans un système de coordonnées cartésiennes,

${\displaystyle \Box =-\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}\right)+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}}$ , où c est la vitesse de la lumière, ce que l'on peut réécrire en fonction du laplacien par :

${\displaystyle \Box =-\Delta +{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}}$.

Plus généralement, partant de la métrique de Minkowski η_ab, on peut réécrire le d'alembertien selon la formule

${\displaystyle \Box =\eta ^{\mu \nu }{\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}{\frac {\partial }{\partial x^{\nu }}}=\partial _{\mu }\partial ^{\mu }=\partial ^{\mu }\partial _{\mu },}$

où l'on effectue la somme sur toutes les coordonnées t, x, y, z. Cette définition est cependant dépendante de la convention de signe de la métrique, aussi le signe du d'alembertien dépend-il parfois des auteurs.

Application

Le d'alembertien apparait dans l'équation d'onde du quadri-potentiel électromagnétique :

${\displaystyle \Box A^{\mu }=0.}$

L'équation de Klein-Gordon fait également intervenir l'opérateur :

${\displaystyle (\Box +m^{2})\psi =0.}$

Articles connexes

• Équation de d'Alembert
• Métrique minkowskienne