Notations actuarielles internationales

Les notations actuarielles[1] fournissent un standard de représentation des contrats d'assurance-vie. Ce standard facilite l'expression des résultats de la tarification [2] et du provisionnement basé sur les mathématiques financières et sur les tables de mortalité[3]. Ces notations intègrent le core syllabus de l'institut des actuaires (Actuaire) et sont à la base des enseignements en assurance-vie. Leur écriture sous LaTeX peut se faire grâce aux paquetages actuarialsymbol[4] et actuarialangle [5].

Notations utilisées pour la partie 'mathématiques financières'

$\textstyle i$ représente le taux d'intérêt effectif annuel.

$\textstyle i^{(m)}$ est le taux nominal annuel par période de capitalisation de $\textstyle {\frac {1}{m}}$ année. Par exemple, $\textstyle \,i^{(2)}$ est le taux d'intérêt nominal convertibles semestriellement. Le taux périodique est alors de $\textstyle {\frac {i^{(m)}}{m}}$ .

1+i=\left(1+{\frac {i^{(m)}}{m}}\right)^{m}

Le taux annuel effectif est de 12, quel est le taux nominal ?

Si $\textstyle d$ est le taux d'escompte, et $\textstyle \delta$ le taux d'intérêt continu :

\,(1+i)=\left(1+{\frac {i^{(m)}}{m}}\right)^{m}=e^{\delta }=\left(1-{\frac {d^{(m)}}{m}}\right)^{-m}=(1-d)^{-1}

La lettre $\textstyle v$ est utilisée pour représenter la valeur présente de 1 dans un an (voir Actualisation) :

\,v={(1+i)}^{-1}\approx 1-i+i^{2}

Exemple de code VB pour le calcul d'annuité (Mathématiques Financières)

Option VBASupport 1 ' Needed for Calc (libreoffice/openoffice)
Function annuity( i as double, n as double, Optional m as double = 0, _
                  Optional  k as Integer =1, Optional Terme as String= "immediate" )
'i      Effective interest rate expressed in decimal form. E.g. 0,03 means 3%.  
'n      Years for payments.
'm      Deferring Years, whose default value is zero.
'k      Yearly payments frequency. A payment of k − 1 is supposed to be performed at
'         the end of each year.
'Terme  A string, either "immediate", "continuous" or "due".
 i_k=(1+i)^(1/k)-1 'effective rate for one period
 n_k=n*k 'number of periods for payements
 m_k=m*k 'deferring periods
    v_k = 1 / (1 + i_k) 'present value rate
    d = i_k / (1 + i_k) 'discount rate for one period
if Terme = "immediate" then annuity = (1-v_k ^ n_k)/i_k/k
if Terme = "due" then       annuity = (1-_kv ^ n_k)/d/k
                            annuity = v_k^m_k*annuity
'k is not used in continous case
    delta= log(1+i)     ' continuous rate
    v = 1 / (1 + i)
if Terme = "continuous" then annuity = v^m *  (1-v ^ n)/delta
'MsgBox "Valeur présente d'un paiement annuel de 1, fractionné en " & k & _
'  " versements par an (à terme de type : " & Terme & "), d'une durée " & n & _
'   " ans, différée de " & m & "années, au taux " & format(i,"0.00%") & " = " & annuity
End Function

Les tables de mortalité

Entre (x) et (x+1)

Une table de mortalité indique le nombre de personnes vivantes à un âge donné, sur la base d'hypothèse sur la population initiale et des lois de survie.

$\textstyle l_{x}$ est le nombre de personnes vivantes, par rapport à une cohorte initiale, à l'âge $\textstyle x$ . Comme l'âge augmente le nombre de personnes vivantes diminue.

$\textstyle l_{0}$ est le point de départ de $\textstyle l_{x}$ : Le nombre de personnes vivant à l'âge 0. Ceci est connu comme la racine de la table (certaines tables de mortalité commencent à un âge supérieur à 0).

$\textstyle w$ est l'âge limite des tables de mortalité. $\textstyle l_{n}$ est égal à zéro pour tous $\textstyle n\geq w$ .

$\textstyle d_{x}$ est le nombre de personnes qui meurent entre l'âge $\textstyle x$ et l'âge $\textstyle x+1$ . $\textstyle d_{x}$ peut être calculée en utilisant la formule $\textstyle d_{x}=l_{x}-l_{x+1}$ .

$\textstyle q_{x}$ est la probabilité de décès entre les âges de $\textstyle x$ et l'âge $\textstyle x+1$ .

\,q_{x}=d_{x}/l_{x}

$\textstyle p_{x}$ est la probabilité que l'individu âgé de $\textstyle x$ survive à l'âge $\textstyle x+1$ .

Comme l'alternative entre l'âge ( $\textstyle x$ ) et ( $\textstyle x+1$ ) est de mourir ou survivre :

\,p_{x}+q_{x}=1

$\textstyle {}_{k|}q_{x}$ , la probabilité que l'individu d'âge $\textstyle x$ meurt dans la $\textstyle {k+1}^{e}$ année.

$\textstyle {}_{k|}a_{x}$ une rente sur l'individu d'âge $\textstyle x$ différée $\textstyle k$ années. Le premier paiement intervient dans $\textstyle k+1$ ans.

Entre (x) et (x+n)

Ces symboles peuvent être étendues à plusieurs années en insérant le nombre d'années en bas à gauche du symbole de base.

$\textstyle \,_{n}d_{x}=d_{x}+d_{x+1}+\cdots +d_{x+n-1}=l_{x}-l_{x+n}$ montre le nombre de personnes qui meurent entre l'âge $\textstyle x$ et l'âge $\textstyle x+n$ .

$\textstyle \,_{n}q_{x}$ est la probabilité de décès entre les âges de $\textstyle x$ et l'âge $\textstyle x+n$ .

\,_{n}q_{x}={}_{n}d_{x}/l_{x}

$\textstyle \,_{n}p_{x}$ est la probabilité d'une personne d'âge $\textstyle x$ de survivre à l'âge $\textstyle x+n$ .

\,_{n}p_{x}=l_{x+n}/l_{x}

L'espérance de vie

$\textstyle \,e_{x}$ est l'espérance de vie pour une personne encore en vie à l'âge $\textstyle x$ . C'est le nombre espéré d'anniversaires à vivre.

e_{x}=\sum _{t=1}^{\infty }{}_{t}p_{x}

Une table de mortalité montre généralement le nombre de personnes vivant à des âges entiers. Une hypothèse courante est que d'une distribution uniforme de décès (UDD) entre $\textstyle x$ et $\textstyle x+1$ .

\,l_{x+t}=(1-t)l_{x}+tl_{x+1}

Les rentes

Les rentes annuelles

Le symbole de base pour la valeur actualisée d'une rente est $\textstyle a$ .

Exemple de notation actuarielle.
1. Une assurance versant 1(€) lorsque survient la mort.
2. payée au moment de la mort
3. pour personne âgée de

\textstyle x

année, pour

\textstyle n

ans
4. payé si

\textstyle (x)

meurt dans les

\textstyle n

ans
5. différé (

\textstyle m

années)
6. pas de sens fixe

L'indice à droite indique l'âge de la personne lors du démarrage de rente et la période pour laquelle une rente est versée $(a_{x})$ .
L'exposant à droite indique la fréquence de paiement dans l'année $(a_{x}^{(m)})$ .
Le symbole au-dessus indique quand les paiements sont dus. Deux points pour le terme à échoir ou anticipé, barre pour le versement continu et rien pour le terme échu $({\ddot {a}}_{x},\ {\bar {a}}_{x},\ a_{x})$ .

$\textstyle a_{{\overline {n}}|i}$ représente la valeur actualisée d'une rente à terme échue.

\,a_{{\overline {n}}|i}=v+v^{2}+\cdots +v^{n}={\frac {1-v^{n}}{i}}

$\textstyle {\ddot {a}}_{{\overline {n}}|i}$ représente la valeur actualisée d'une rente à terme à échoir ou anticipé (paiements unitaires au début de chaque année).

{\ddot {a}}_{{\overline {n}}|i}=1+v+\cdots +v^{n-1}={\frac {1-v^{n}}{d}}

Les rentes semestrielles, trimestrielles ou mensuelles

Si le symbole $\textstyle (k)$ est ajoutée au coin supérieur droit, les paiements d'une valeur de $\textstyle 1/k$ se produisent chacune des $\textstyle k$ périodes de l'année.

a_{{\overline {n}}|i}^{(k)}={\frac {1-v^{n}}{i^{(k)}}},{\ddot {a}}_{{\overline {n}}|i}^{(k)}={\frac {1-v^{n}}{d^{(k)}}}

$\textstyle {\overline {a}}_{{\overline {n}}|i}$ est la valeur limite de $\textstyle \,a_{{\overline {n}}|i}^{(k)}$ quand $\textstyle k$ tend vers l'infini. La rente sous-jacente est connue comme une rente continue.

{\overline {a}}_{{\overline {n}}|i}={\frac {1-v^{n}}{\delta }}

$\textstyle \,s_{{\overline {n}}|i}$ est la valeur accumulée de la rente à la date du dernier paiement.

Capitaux décès

Le symbole de base pour un capital décès est $\textstyle \,A$ .

$\textstyle A_{x}$ indique une prestation au décès à la fin de l'année de la mort (montant de 1).

$\textstyle A_{x}^{(12)}$ indique une prestation payable à la fin du mois du décès.

$\textstyle {\overline {A}}_{x}$ indique une prestation payée à la date du décès.

Autres Notations Actuarielles

Garantie en cas de vie

Le symbole de base pour un capital différé $\textstyle \,E$ (en cas de vie).

$\textstyle _{n}E_{x}$ indique, pour une personne d'âge $x$ , une prestation à l'âge $n+x$ si elle est vivante (montant de 1).

La prime

Le symbole de base pour représenter la prime nette est $\textstyle \,P$ ou $\pi$ . Par exemple ${}_{h}P^{(m)}({}_{n|}{\ddot {a}}_{x})$ représente la prime annuelle (payée en $m$ versements par an pendant $h$ années) pour une annuité à terme anticipé et différé de $n$ années.

La Valeur ou Provision Mathématique

Le symbole $\textstyle \,V$ sert à représenter la provision mathématique ou la valeur d'une police.

Coefficients ou commutations

Ces coefficients ou commutations établies par des fonctions actuarielles qui dépendent d'une table de mortalité et d'un coefficient d'actualisation n'ont pas de sens particulier. Ils servent à simplifier l'écriture des calculs.

$D_{x}=l_{x}.v^{x}$ comme le nombre de survivants actualisés

$C_{x}=d_{x}v^{x+{\frac {1}{2}}}$ comme le nombre de décès actualisés à l'âge $x$ .

$N_{x}=\sum _{k\geq 0}D_{x+k}=\sum _{k=0}^{\omega -x}D_{x+k}$

$S_{x}=\sum _{k\geq 0}N_{x+k}=\sum _{k\geq 0}(k+1).D_{x+k}$

L'assurance sur plusieurs individus

$\textstyle a_{xyz}$ est une rente annuelle, payée dès la fin de la première année et tant que vivent $\textstyle (x)$ , $\textstyle (y)$ et $\textstyle (z)$ .

$\textstyle a_{\overline {xyz}}$ est une rente annuelle, payée dès la fin de la première année et tant que vivent $\textstyle (x)$ , $\textstyle (y)$ ou $\textstyle (z)$ .

a_{\overline {xy}}=a_{y}+a_{x}-a_{xy}

$\textstyle A_{xyz}$ est une assurance qui intervient à la fin de l'année du premier décès de $\textstyle (x)$ , $\textstyle (y)$ et $\textstyle (z)$ .

La barre verticale indique la conditionnalité :

$\textstyle a_{x|y}$ est une rente de reversion qui profite à $\textstyle (y)$ après le décès de $\textstyle (x)$ .

$\textstyle A_{x|yz}$ est une assurance au premier décès de $\textstyle (y)$ et $\textstyle (z)$ .

Notes et références

DOI 10.1017/S0020268100017984
DOI 10.1007/978-3-7908-2593-0
Michel Fromenteau et Pierre Petauton, Théorie et pratique de l'assurance vie : Cours et exercices corrigés, Dunod, coll. « Éco Sup », 2012, 288 p. (ISBN 978-2-10-058604-2)
(en) « CTAN: Package actuarialsymbol », sur www.ctan.org (consulté le 14 avril 2017)
(en) « CTAN: Package actuarialangle », sur www.ctan.org (consulté le 14 avril 2017)

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