Nombre heureux

En mathématiques, un entier naturel est un nombre heureux si, lorsqu'on calcule la somme des carrés de ses chiffres dans son écriture en base dix puis la somme des carrés des chiffres du nombre obtenu et ainsi de suite, on aboutit au nombre 1.

On peut démontrer qu'en appliquant un tel processus, à partir d'un entier quelconque non nul, on finit par boucler sur un des cycles suivants : {1}, ou {4, 16, 37, 58, 89, 145, 42, 20}. Un nombre est malheureux quand il boucle sur le cycle long.

De manière plus formelle, on considère un entier positif $t$ , puis on définit la suite d'entiers $t_{0},t_{1},t_{2}\ldots$ où $t_{0}=t\,\!$ et $t_{i+1}$ est égal à la somme des carrés des chiffres de $t_{i}$ . $t$ est dit heureux si la suite aboutit à 1 à partir d'un certain nombre de termes, c’est-à-dire que pour un certain indice $i$ , $t_{i}=1\,\!$ (à partir de cet indice, tous les $t_{j}$ sont égaux à 1 et la suite est constante).

Exemples

Le nombre 7 est heureux, puisque sa suite associée est :

t_{1}=7^{2}=49;\,

t_{2}=4^{2}+9^{2}=97\,

t_{3}=9^{2}+7^{2}=130\,

t_{4}=1^{2}+3^{2}+0^{2}=10\,

t_{5}=1^{2}+0^{2}=1.

Dès que, dans la suite associée à un nombre, on rencontre 4, 16, 37, 58, 89, 145, 42 ou 20, la suite devient périodique et le nombre en question est malheureux, puisque $4^{2}=16,\quad 1^{2}+6^{2}=37,\quad 3^{2}+7^{2}=58,\quad 5^{2}+8^{2}=89,\quad 8^{2}+9^{2}=145,\quad 1^{2}+4^{2}+5^{2}=42,\quad 4^{2}+2^{2}=20,\quad 2^{2}+0^{2}=4.$

Listes

Par construction, les termes d'une suite définie par cette méthode sont soit tous heureux (ou joyeux), soit tous malheureux (ou tristes).

Les dix plus petits nombres heureux sont : 1, 7, 10, 13, 19, 23, 28, 31, 32, 44 (suite A007770 de l'OEIS). Les autres entiers entre 1 et 44 sont donc malheureux (suite A031177 de l'OEIS).

Le nombre de nombres heureux inférieurs ou égaux à 1, à 10, à 100, à 1 000, etc. vaut (respectivement) 1, 3, 20 et 143, etc. (suite A068571 de l'OEIS).

Les nombres heureux premiers sont 7, 13, 19, 23, 31, 79, etc. (suite A035497 de l'OEIS).

Voir aussi

Article connexe

Résidu d'un entier naturel

Liens externes

« Nombre heureux », sur Récréomath
calculer si un nombre est heureux
(en) Eric W. Weisstein, « Happy Number », sur MathWorld
(en) Nombres heureux sur Mathews
(en) Problème pratique sur les nombres heureux

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Happy number » (voir la liste des auteurs).

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