Nombre de Lah

${\displaystyle x^{\underline {n}}=(-1)^{n}(-x)^{\overline {n}}=(-1)^{n}\sum _{k}(-1)^{n}L(n,k)(-x)^{\underline {k}}=\sum _{k}L(n,k)(-x)^{\underline {k}}}$.

Initialisation

Le produit vide x⁰ valant 1 pour tout x, on a :

${\displaystyle \sum _{k}L(0,k)x^{\underline {k}}=(-x)^{\underline {0}}=1=x^{\underline {0}}=\sum _{k}\delta _{k}x^{\underline {k}}}$.

Or les factorielles décroissantes constituent une base des polynômes, ce qui permet d’identifier les composantes à gauche et à droite.

Hérédité

Par changement de variable k→k+1, on a ${\displaystyle \sum _{k}L(n,k-1)x^{\underline {k}}=\sum _{k}L(n,k)x^{\underline {k+1}}=\sum _{k}(x-k)L(n,k)x^{\underline {k}}}$, d’où :

${\displaystyle \sum _{k}\left[(n+k)L(n,k)+L(n,k-1)\right]x^{\underline {k}}=\sum _{k}\left[(n+k)L(n,k)+(x-k)L(n,k)\right]x^{\underline {k}}=\sum _{k}(x+n)L(n,k)x^{\underline {k}}=(x+n)(-x)^{\underline {n}}=-(-x)^{\underline {n+1}}=-\sum _{k}L(n+1,k)x^{\underline {k}}}$.

Or les factorielles décroissantes constituent une base des polynômes, ce qui permet d’identifier les composantes à gauche et à droite.

Le coefficient binomial ${\displaystyle {\tbinom {-1}{-1}}}$ (lorsque n=k=0) n’étant pas défini, on commence par décaler à n=1 l’initialisation de la formule de récurrence de L :

${\displaystyle L(1,k)=-kL(0,k)-L(0,k-1)=-k\delta _{k}-\delta _{k-1}=-\delta _{k-1}}$.

On pose ensuite ${\displaystyle f(n,k)=(-1)^{n}{\binom {n-1}{k-1}}{\frac {n!}{k!}}=(-1)^{n}{\binom {n}{k}}{\frac {(n-1)!}{(k-1)!}}}$, d’où :

• sachant que ${\displaystyle {\tbinom {0}{k}}=\delta _{k}}$, on a :

${\displaystyle f(1,k)=(-1)^{1}{\binom {0}{k-1}}{\frac {1!}{k!}}=-\delta _{k-1}{\frac {1}{k!}}=-\delta _{k-1}}$ ;

• sachant que ${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}={\tbinom {n-1}{k}}+{\tbinom {n-1}{k-1}}}$, on a :

${\displaystyle {\begin{aligned}f(n+1,k)&=(-1)^{n+1}{\binom {n+1}{k}}{\frac {n!}{(k-1)!}}\\&=-(-1)^{n}\left[{\binom {n}{k}}+{\binom {n}{k-1}}\right]{\frac {n!}{(k-1)!}}\\&=-(-1)^{n}\left[{\binom {n}{k}}+{\binom {n-1}{k-1}}+{\binom {n-1}{k-2}}\right]{\frac {n!}{(k-1)!}}\\&=-\left[(-1)^{n}{\binom {n}{k}}{\frac {n\,(n-1)!}{(k-1)!}}+(-1)^{n}{\binom {n-1}{k-1}}{\frac {k\,n!}{k!}}+(-1)^{n}{\binom {n-1}{k-2}}{\frac {n!}{(k-1)!}}\right]\\&=-\left[nf(n,k)+kf(n,k)+f(n,k-1)\right]\\&=-(n+k)f(n,k)-f(n,k-1)\end{aligned}}}$.

f et L ont donc même initialisation et même hérédité, d’où L=f.

${\displaystyle \sum _{k}\left[\sum _{i}L(n,i)L(i,k)\right]x^{\underline {k}}=\sum _{i}L(n,i)\left[\sum _{k}L(i,k)x^{\underline {k}}\right]=\sum _{i}L(n,i)(-x)^{\underline {i}}=x^{\underline {n}}=\sum _{k}\delta _{n,k}x^{\underline {k}}}$.

Or les factorielles décroissantes constituent une base des polynômes, ce qui permet d’identifier les composantes à gauche et à droite.

On a ${\displaystyle x^{\overline {n}}=\sum _{k}{\begin{bmatrix}n\\k\end{bmatrix}}x^{k}}$ et ${\displaystyle x^{n}=\sum _{k}{\begin{Bmatrix}n\\k\end{Bmatrix}}x^{\underline {k}}}$, d’où :

${\displaystyle \sum _{k}\left\lfloor {\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right\rfloor x^{\underline {k}}=x^{\overline {n}}=\sum _{i}{\begin{bmatrix}n\\i\end{bmatrix}}x^{i}=\sum _{i}{\begin{bmatrix}n\\i\end{bmatrix}}\left(\sum _{k}{\begin{Bmatrix}i\\k\end{Bmatrix}}x^{\underline {k}}\right)=\sum _{k}\left(\sum _{i}{\begin{bmatrix}n\\i\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}i\\k\end{Bmatrix}}\right)x^{\underline {k}}}$.

Or les factorielles décroissantes constituent une base des polynômes, ce qui permet d’identifier les composantes à gauche et à droite.