Nombre de Demlo

Un nombre de Demlo en base ${\displaystyle b}$ est un nombre de la forme ${\displaystyle \left({\frac {b^{n}-1}{b-1}}\right)^{2}}$ pour ${\displaystyle n>0}$.

Si ${\displaystyle n<b}$, un tel nombre est (en base ${\displaystyle b}$) un nombre palindrome à ${\displaystyle 2n-1}$ chiffres et, plus précisément, de la forme

${\displaystyle nb^{n-1}+\sum _{i=1}^{n-1}(ib^{2n-i}+ib^{i-1})}$

c'est-à-dire que (lu de gauche à droite) ses ${\displaystyle n}$ premiers chiffres sont les ${\displaystyle n}$ premiers chiffres en base ${\displaystyle b}$ dans l'ordre croissant, et ses ${\displaystyle n}$ derniers chiffres sont les mêmes chiffres dans l'ordre inverse[4].

Exemple : ${\displaystyle 1234321}$ est un nombre de Demlo car ${\displaystyle 1234321=1111^{2}=1111\times 1111}$.