Nombre carré triangulaire

Le problème se ramène à la résolution d'une équation diophantienne de la manière suivante[1].

Tout nombre triangulaire est de la forme t(t + 1)/2. On recherche donc les entiers t et s tels que t(t + 1)/2 = s², c'est-à-dire, en posant x = 2t + 1 et y = 2s, les solutions de l'équation de Pell-Fermat

${\displaystyle x^{2}-2y^{2}=1.}$

Les solutions sont données par

${\displaystyle x_{k}+y_{k}{\sqrt {2}}=(1+{\sqrt {2}})^{2k},}$

soit

${\displaystyle x_{k}={\frac {(1+{\sqrt {2}})^{2k}+(1-{\sqrt {2}})^{2k}}{2}}\quad {\rm {et}}\quad y_{k}={\frac {(1+{\sqrt {2}})^{2k}-(1-{\sqrt {2}})^{2k}}{2{\sqrt {2}}}}.}$

On trouve donc

${\displaystyle t_{k}={\frac {(1+{\sqrt {2}})^{2k}+(1-{\sqrt {2}})^{2k}-2}{4}}\quad {\rm {et}}\quad s_{k}={\frac {(1+{\sqrt {2}})^{2k}-(1-{\sqrt {2}})^{2k}}{4{\sqrt {2}}}},}$

d'où la valeur annoncée pour N_k = s_k².

(voir la suite A001110 de l'OEIS pour quelques valeurs suivantes de N_k).

Lorsque k tend vers l'infini, le rapport

${\displaystyle {\frac {t_{k}}{s_{k}}}={\frac {x_{k}-1}{y_{k}}}\sim {\frac {x_{k}}{y_{k}}}}$

tend vers la racine carrée de deux et

${\displaystyle {N_{k+1} \over {N_{k}}}={s_{k+1}^{2} \over s_{k}^{2}}\to (1+{\sqrt {2}})^{4}.}$

, renommé « Square triangular number » en août 2005.