Négation par l'échec

La sémantique de la négation par l'échec est restée un problème ouvert jusqu'à ce que Keith Clark montre en 1978[1] qu'elle était correcte par rapport à la complétion du programme logique où « seulement » et ${\displaystyle \leftarrow }$ sont interprétés comme « si et seulement si », abrégé en « ssi » et noté ${\displaystyle \equiv }$.

Par exemple, la complétion des quatre clauses précédentes est :

${\displaystyle p\equiv q\land not~r}$
${\displaystyle q\equiv s\lor t}$
${\displaystyle t\equiv true}$
${\displaystyle r\equiv false}$
${\displaystyle s\equiv false}$

La règle d'inférence de la négation par l'échec simule un raisonnement avec une complétion explicite, où la négation est appliquée aux deux côtés de l'équivalence et où la négation de la partie droite est distribuée sur les formules atomiques. Par exemple, pour montrer ${\displaystyle not~p}$, la négation par l'échec simule un raisonnement avec les équivalences suivantes :

${\displaystyle not~p\equiv not~q\lor r}$
${\displaystyle not~q\equiv not~s\land not~t}$
${\displaystyle not~t\equiv false}$
${\displaystyle not~r\equiv true}$
${\displaystyle not~s\equiv true}$

Dans le cas non propositionnel, il faut étendre la complétion avec des axiomes d'égalité, pour formaliser l'hypothèse que des entités avec des noms différents sont elles-mêmes distinctes. La négation par l'échec simule ceci par l'échec de l'unification. Par exemple, si l'on considère uniquement les deux clauses suivantes :

${\displaystyle p(a)\leftarrow }$
${\displaystyle p(b)\leftarrow }$

On dérive, avec la négation par l'échec, ${\displaystyle not~p(c)}$.

La complétion du programme est :

${\displaystyle p(X)\equiv X=a\lor X=b}$

étendue avec les axiomes d'unicité des noms et de fermeture du domaine.

La sémantique par complétion est étroitement liée à la notion de circonscription et à l'hypothèse du monde clos.

La sémantique par complétion justifie l'interprétation du résultat ${\displaystyle not~p}$ d'une inférence en négation par l'échec comme la négation classique ${\displaystyle \neg p}$ de ${\displaystyle p}$. Cependant, Michael Gelfond a montré en 1987[2] qu'il était également possible d'interpréter ${\displaystyle not~p}$ de manière littérale comme « ${\displaystyle p}$ ne peut pas être montré », « ${\displaystyle p}$ n'est pas connu » ou « ${\displaystyle p}$ n'est pas cru », comme en logique auto-épistémique. L'interprétation auto-épistémique a été développée en 1988 par Gelfond et Lifschitz[3], et constitue la base de l'answer set programming.

La sémantique auto-épistémique d'un programme Prolog pur P avec la négation par l'échec sur des littéraux est obtenue en « étendant » P avec un ensemble Δ de littéraux négatifs (au sens de la négation par l'échec) exempts de variable libres tel que Δ soit stable au sens où :

Δ = {${\displaystyle not~p}$ | P ∪ Δ n'implique pas ${\displaystyle p}$}

En d'autres termes, un ensemble d'hypothèses Δ sur ce qui ne peut pas être démontré est stable si et seulement si Δ est l'ensemble de toutes les formules qui ne peuvent véritablement pas être montrées à partir du programme P étendu à l'aide de Δ. Ici, à cause de la syntaxe simple des programmes en Prolog pur, l'implication peut être comprise simplement comme la dérivabilité à l'aide du modus ponens et de la substitution uniforme, à l'exception de tout autre règle.

Un programme peut avoir zéro, une ou plusieurs extensions stables. Par exemple, le programme suivant n'a aucune extension stable :

${\displaystyle p\leftarrow not~p}$

Celui-ci a exactement une extension stable Δ = {${\displaystyle not~q}$}

${\displaystyle p\leftarrow not~q}$

Ce troisième programme a deux extensions stables Δ₁ = {${\displaystyle not~p}$} et Δ₂ = {${\displaystyle not~q}$}.

${\displaystyle p\leftarrow not~q}$
${\displaystyle q\leftarrow not~p}$

L'interprétation auto-épistémique de la négation par l'échec peut être combinée avec la négation classique, comme en programmation logique étendue et en answer set programming. En combinant les deux négations, on peut par exemple exprimer l'hypothèse du monde fermé :

${\displaystyle \neg p\leftarrow not~p}$

Ou encore la valeur par défaut d'une proposition :

${\displaystyle p\leftarrow not~\neg p}$

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Negation as failure » (voir la liste des auteurs).