Modèle de Wess-Zumino-Novikov-Witten

Soit G un groupe de Lie compact simplement connexe et g son algèbre de Lie simple. Soit γ, un champ envoyant les points de la compactification du plan complexe, S², vers G,

${\displaystyle {\displaystyle \gamma :S^{2}\to G}.}$

Le modère WZNW est alors un modèle sigma non linéaire défini par γ avec une action donnée par

${\displaystyle S_{k}(\gamma )=-\,{\frac {k}{8\pi }}\int _{S^{2}}d^{2}x\,{\mathcal {K}}(\gamma ^{-1}\partial ^{\mu }\gamma \,,\,\gamma ^{-1}\partial _{\mu }\gamma )+2\pi k\,S^{\mathrm {W} Z}(\gamma ).}$

où ∂_μ = ∂/∂x^μ est la dérivée partielle, la métrique est euclidienne et la convention de sommation d'Einstein s'applique sur les indices répétés. ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$ dénote la forme de Killing sur g; ce premier terme est le terme cinétique standard en théorie quantique des champs.

S^WZ dénote le terme de Wess–Zumino et peut être écrit comme

${\displaystyle S^{\mathrm {W} Z}(\gamma )=-\,{\frac {1}{48\pi ^{2}}}\int _{B^{3}}d^{3}y\,\epsilon ^{ijk}{\mathcal {K}}\left(\gamma ^{-1}\,{\frac {\partial \gamma }{\partial y^{i}}}\,,\,\left[\gamma ^{-1}\,{\frac {\partial \gamma }{\partial y^{j}}}\,,\,\gamma ^{-1}\,{\frac {\partial \gamma }{\partial y^{k}}}\right]\right)}$,

où [,] est un commutateur, ε^ijk est le symbole complètement anti-symétrique, et l'intégration sur les coordonnées yⁱ for i=1,2,3 se fait sur la boule de rayon unitaire B³. Une extension du domaine de γ permet de définir le champ à l'intérieur de la boule unitaire. Cette extension est possible puisque le groupe d'homotopie π₂ (G) donnant les classes d'équivalence de γ, originellement définie sur S² = ∂B³, est trivial pour un groupe de Lie compact simplement connexe G.

L'algèbre de courant du modèle de WZNW est l'algèbre de Kac-Moody. Le tenseur de stress-énergie est donné par la construction de Sugarawa.