Modèle de Black

La formule du modèle de Black est similaire à celle de Black-Scholes pour évaluer le prix d'une option à l'exception du prix spot qui est remplacé par le prix du contrat à terme dénommé F.

Supposons qu'il y ait constamment un taux sans risque dénommé r et que le prix du contrat à terme dénommé F(t) possède une volatilité constante σ alors, la formule de Black pour déterminer le prix d'une option call européenne avec une maturité T sur des contrats futurs avec un prix exercice K et une date de livraison T' (où ${\displaystyle T'\geq T}$ ) est :

${\displaystyle c=e^{-rT}[FN(d_{1})-KN(d_{2})]}$

Le prix de vente est donc :

${\displaystyle p=e^{-rT}[KN(-d_{2})-FN(-d_{1})]}$

Où :

${\displaystyle d_{1}={\frac {\ln(F/K)+(\sigma ^{2}/2)T}{\sigma {\sqrt {T}}}}}$

${\displaystyle d_{2}={\frac {\ln(F/K)-(\sigma ^{2}/2)T}{\sigma {\sqrt {T}}}}=d_{1}-\sigma {\sqrt {T}},}$

Et N(.) est la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite.

Il faut noter que T' ne figure pas dans les formules même si elle pourrait être supérieure à T. C'est parce que les contrats à terme sont réévalués en permanence sur le marché et que par conséquent le gain est réalisé lorsque l'option est exercée. Si l'on considère une option sur un contrat à terme expirant à l'instant T'>T, le gain ne se produira pas jusqu'à ce que T' dépasse T. Ainsi le facteur d'actualisation ${\displaystyle e^{-rT}}$ est remplacé par ${\displaystyle e^{-rT'}}$ puisqu'il faut prendre en compte la valeur temps de l'argent

• Black-Scholes

• Fischer Black, The pricing of commodity contracts, Journal of Financial Economics n^o 3, 1976, p. 167-179.
• Mark B Garman, Steven W. Kohlhagen, Foreign currency option values, Journal of International Money and Finance n^o 2, 1983, p. 231-237.
• K. Miltersen, K. Sandmann, D. Sondermann, Closed Form Solutions for Term Structure Derivates with Log-Normal Interest Rates, Journal of Finance, 52(1), 1997, p. 409-430.

• Bond Options, Caps and the Black Model Dr. Milica Cudina, Université du Texas à Austin