Matrice à signes alternants

Voici un exemple de matrice à signes alternants (qui n'est pas une matrice de permutation).

Image sous forme de puzzle

${\displaystyle {\begin{bmatrix}0&0&1&0\\1&0&0&0\\0&1&-1&1\\0&0&1&0\end{bmatrix}}.}$

La conjecture des matrices à signes alternants énonce que le nombre de matrices à signes alternants de taille ${\displaystyle n\times n}$ est 

${\displaystyle \prod _{k=0}^{n-1}{\frac {(3k+1)!}{(n+k)!}}={\frac {1!4!7!\cdots (3n-2)!}{n!(n+1)!\cdots (2n-1)!}}.}$

Les premiers termes de cette suite pour n = 0, 1, 2, 3… sont

1, 1, 2, 7, 42, 429, 7436, 218348… (suite A005130 dans l'OEIS).

Cette conjecture a été démontrée par Doron Zeilberger en 1992[1]. En 1995, Greg Kuperberg a donné une démonstration relativement courte[2] utilisant l'équation de Yang-Baxter pour le modèle à 6 sommets, qui passe par un calcul de déterminant[3], en résolvant des relations de récurrence dues à Vladimir Korepin[4].

En 2001, A. Razumov et Y. Stroganov ont conjecturé une connexion entre le modèle des boucles O(1), le modèle des boucles tassées (Fully Packed Loops) et les matrices à signes alternants[5]. Cette conjecture a été démontrée en 2010 par L. Cantini et A. Sportiello[6].