MĂ©thodes d'Adams-Bashforth
Les méthodes d'Adams-Bashforth sont des méthodes de résolution numérique des équations différentielles, basées sur un schéma à pas multiple. Contrairement aux méthodes de Runge-Kutta qui n'utilisent qu'un pas mais nécessitent plusieurs calculs, les méthodes d'Adams-Bashforth permettent d'alléger les calculs tout en gardant un ordre similaire.
Description
Soit l'équation différentielle à résoudre :
On considÚre une suite de temps (tn) pour lesquelles on calcule les valeurs (yn). Pour cela, les méthodes usuelles utilisent un schéma utilisant une relation entre yn et tn pour le calcul de yn+1. Les méthodes d'Adams-Bashforth vont quant à elles utiliser plusieurs valeurs yn, yn-1,...,yn-r.
Soit z une solution exacte de l'Ă©quation. On a alors :
Supposons que les points (z(tn-i)) et les pentes (fn-i)=(f(tn-i,z(tn-i))) soient connues pour 0†iâ€r.
On calcule alors le polynĂŽme d'interpolation de Lagrange de ces points : avec les polynĂŽmes de Lagrange suivants
On fait alors l'approximation :
La méthode d'Adams-Bashforth à r+1 pas s'écrit donc : avec
On remarque alors qu'à chaque étape, alors que les méthodes de Runge-Kutta demandaient plusieurs évaluations de f à chaque étape, les méthodes d'Adams-Bashforth n'en nécessitent qu'une seule[1].
Exemples
Le tableau suivant donne les valeurs des coefficients dans le cas oĂč le pas est constant :
0 | 1 | ||||
1 | |||||
2 | |||||
3 | |||||
On reconnaßt pour r=0 la méthode d'Euler.
Erreur de la méthode
On peut vérifier que l'erreur de consistance d'une méthode d'Adams-Bashforth à r+1 pas satisfait : Il s'agit donc d'une méthode d'ordre r+1, pour peu que les r premiÚres valeurs soient calculées par une méthode de Runge-Kutta d'ordre suffisant.
La stabilité de la méthode est cependant assez médiocre :
ThĂ©orĂšme â Si f est k-lipschitzienne en y et qu'il existe une constante ÎČr indĂ©pendante de n vĂ©rifiant : alors la mĂ©thode d'Adams-Bashforth Ă r+1 pas est stable, de constante de stabilitĂ©
Cependant, les valeurs de ÎČr augmentent avec r. Dans la pratique, on se limitera au cas r=1 ou 2, ou il faudra alors envisager une mĂ©thode Ă pas variable.
Références
- Jean-Pierre Demailly, Analyse numérique et équations différentielles, Les Ulis, EDP Sciences, coll. « Grenoble Sciences », , 343 p. (ISBN 2-86883-891-X)