Méthode d'automorphisme

On rappelle que pour tous homomorphisme ${\displaystyle h:|{\mathfrak {A}}|\to |{\mathfrak {B}}|}$, individus ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}\in |{\mathfrak {A}}|}$, et ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$-formule ${\displaystyle \phi }$, on a ${\displaystyle \models _{\mathfrak {A}}\phi [a_{1},\ldots ,a_{n}]}$ si et seulement si ${\displaystyle \models _{\mathfrak {B}}\phi [h(a_{1}),\ldots ,h(a_{n})]}$. Cela implique en particulier que si un ensemble est définissable dans une structure, alors il contient nécessairement son image par tous les automorphismes de cette structure.

La méthode d'automorphisme consiste alors à appliquer la contraposée de cette affirmation : si, pour une structure ${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$ et un ensemble ${\displaystyle E\subseteq |{\mathfrak {A}}|^{n}}$, il existe un automorphisme qui associe à un élément de ${\displaystyle E}$ un élément n'appartenant pas à ${\displaystyle E}$, alors ${\displaystyle E}$ n'est pas définissable dans ${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$.

On souhaite démontrer que la relation d'addition ${\displaystyle R=\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\mid x+y=z\}}$ n'est pas définissable dans la structure ${\displaystyle \langle \mathbb {R} ,\times \rangle }$ des réels munis uniquement de la multiplication. Pour cela nous allons utiliser la méthode d'automorphisme avec ${\displaystyle h:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ définie comme la fonction cube ${\displaystyle h(x)=x^{3}}$.

On commence par s'assurer que ${\displaystyle h}$ est bien un automorphisme :

${\displaystyle h(x\times y)=(x\times y)^{3}=x^{3}\times y^{3}=h(x)\times h(y)}$

${\displaystyle h}$ est donc un homomorphisme. De plus, ${\displaystyle h}$ est bijective car elle possède une application inverse définie par ${\displaystyle h^{-1}(x)={\sqrt[{3}]{x}}}$.

Il suffit ensuite de prendre ${\displaystyle x=y=2}$ et ${\displaystyle z=4}$ : en effet, ${\displaystyle 2+2=4}$, mais ${\displaystyle h(2)+h(2)=2^{3}+2^{3}=16\not =64=4^{3}=h(4)}$. On a donc trouvé des éléments ${\displaystyle x,y,z\in \mathbb {R} }$ tels que ${\displaystyle (x,y,z)\in R}$, mais ${\displaystyle (h(x),h(y),h(z))\not \in R}$.

On conclut que la relation d'addition n'est pas définissable dans ${\displaystyle \langle \mathbb {R} ,\times \rangle }$.

• David Marker, Model Theory: An Introduction, Springer, 2002.
• Notes du cours « Théorie des modèles » délivré par A. Arana dans le cadre du Master 1 LOPHISC 2017/2018 Université Paris I Panthéon-Sorbonne.