Ludion (physique)

• Une bouteille en plastique (soda, 1,5 litre)
• Un tube de stylo à bille
• Un ou plusieurs trombones
• Du ruban adhésif transparent
• Des ciseaux

Commencer par boucher, à l’aide d’un morceau de ruban adhésif, le petit orifice présent au milieu du stylo. Accrocher ensuite le trombone à la partie intérieure du tube (du côté de l’ouverture). Une fois la bouteille remplie d’eau, enlever le petit bouchon du stylo, tremper le tube aux trois quarts dans la bouteille et rebouchez : le tube est rempli d’eau aux trois quarts. Placer enfin le tube dans la bouteille ; celui-ci doit flotter verticalement. Reboucher la bouteille.

Il suffit d’appuyer sur la bouteille pour faire descendre l'objet. En effet, lorsque l'on appuie sur la bouteille, la pression augmente à l'intérieur. Seul l'air étant compressible, l'air contenu dans le corps du stylo est donc comprimé, et son volume décroit. La poussée d'Archimède décroit d'autant et le stylo coule.

Bilan des forces qui s’appliquent sur le système crayon-trombone-air :

Il est soumis à deux forces :

• Son poids noté (dirigé vers le bas) : il a tendance à faire couler le système.

  ${\displaystyle \textstyle P=(m_{\mathrm {air} }+m_{\mathrm {crayon} }+m_{\mathrm {lest} })g}$

  Avec :

  ${\displaystyle \textstyle m_{\mathrm {air} }=\rho _{\mathrm {air} }\cdot V_{\mathrm {air} }=\rho _{\mathrm {air} }\cdot \pi r^{2}x}$ et ${\displaystyle \textstyle m_{\mathrm {crayon} }=\rho _{\mathrm {crayon} }\cdot V_{\mathrm {crayon} }=\rho _{\mathrm {crayon} }\cdot 2\pi e\mathrm {R} l}$

  Notations :

  • g = Accélération de la pesanteur
  • ${\displaystyle \rho }$ = Masse volumique
  • V = Volume
  • m = Masse

  • On obtient : ${\displaystyle \textstyle \mathrm {P} =(\rho _{\mathrm {air} }\cdot \pi r^{2}x+\rho _{\mathrm {crayon} }\cdot 2\pi e\mathrm {R} l+m_{\mathrm {lest} })g}$
• La poussée d’Archimède notée (dirigée vers le haut) : elle a tendance à faire flotter le système.

  ${\displaystyle \textstyle \Pi =-(\mathrm {V_{air}} +\mathrm {V_{crayon}} )\rho _{\mathrm {eau} }g}$

  On obtient : ${\displaystyle \textstyle \Pi =-(2\pi e\mathrm {R} l+\pi r^{2}x)\rho _{\mathrm {eau} }g}$

Remarque : on néglige la poussée d’Archimède sur le lest étant donné le faible volume occupé par celui-ci.

Pour commencer, on considère le système à l’équilibre et on applique la première loi de Newton. Les forces sont toutes parallèles à l'axe z donc : ${\displaystyle \mathrm {P} +\Pi =0}$

On obtient

${\displaystyle \textstyle \mathrm {P} +\Pi =(\rho _{\mathrm {air} }\cdot \pi r^{2}x+\rho _{\mathrm {crayon} }\cdot 2\pi e\mathrm {R} l+m_{\mathrm {lest} })g-(2\pi e\mathrm {R} l+\pi r^{2}x)\rho _{\mathrm {eau} }g=0}$

soit

${\displaystyle x={\frac {2e\mathrm {R} l}{r^{2}}}\left({\frac {\rho _{\mathrm {eau} }-\rho _{\mathrm {crayon} }}{\rho _{\mathrm {air} }-\rho _{\mathrm {eau} }}}\right)-{\frac {m_{\mathrm {lest} }}{\pi r^{2}(\rho _{\mathrm {air} }-\rho _{\mathrm {eau} })}}}$ (1)

On pose

${\displaystyle x_{0}={\frac {2e\mathrm {R} l}{r^{2}}}\left({\frac {\rho _{\mathrm {eau} }-\rho _{\mathrm {crayon} }}{\rho _{\mathrm {air} }-\rho _{\mathrm {eau} }}}\right)-{\frac {m_{\mathrm {lest} }}{\pi r^{2}(\rho _{\mathrm {air} }-\rho _{\mathrm {eau} })}}}$

À présent, on se place dans le cas réel où le système ne se trouve pas forcément à l’équilibre. Ces forces se compensent alors plus ou moins. C’est ce qui provoque les mouvements du système dans la bouteille :

• le système monte lorsque : ${\displaystyle \textstyle \Pi >\mathrm {P} \Rightarrow x>x_{0}}$ ;
• le système descend lorsque : ${\displaystyle \textstyle \Pi <\mathrm {P} \Rightarrow x<x_{0}}$ ;
• le système est immobile lorsque : ${\displaystyle \textstyle \Pi =\mathrm {P} \Rightarrow x=x_{0}}$.

La constante ${\displaystyle \textstyle x_{0}}$ représente donc la hauteur limite de la colonne d’air à l’intérieur du stylo en deçà de laquelle le système descend au fond de la bouteille. On peut donc prévoir, en observant le niveau d'eau dans le crayon et augmentant progressivement la pression de la main sur la bouteille, le moment où le « sous-marin va plonger ».

On sait donc maintenant que c’est le volume d’air à l’intérieur du stylo qui conditionne le mouvement du système. Car seule la poussée d’Archimède, qui dépend de ce volume, peut contrer les effets de l’attraction gravitationnelle. C’est bien le phénomène que l’on observe lors de l’expérience : lorsque l’on appuie sur les parois de la bouteille, l’eau monte à l’intérieur du crayon et le système descend.

Il se pose alors une nouvelle question : pourquoi le fait d’appuyer fait-il varier le niveau d’eau dans le crayon ?

Forces de pression à l'intérieur du crayon.

Pour répondre à la question précédente, nous allons maintenant nous intéresser aux forces qui s’exercent sur la surface d’eau en contact avec l’air à l’intérieur du crayon. Ces forces résultent de la pression de l’air et de l’eau à cet endroit.

Pour simplifier le problème, nous considérons l’air comme un gaz parfait. Nous pouvons donc déterminer la pression P_air à partir de la relation des gaz parfaits : PV = nRT où :

• P est la pression du gaz (Pa) ;
• V est le volume occupé par le gaz (m³) ;
• n est la quantité de gaz contenu dans ce volume (mole) ;
• R est la constante des gaz parfaits : R = 8,314 Pa⋅m3⋅mol^-1⋅K^-1 ;
• T est la température du gaz (K).

Au départ, avant de plonger le stylo dans l’eau, le crayon contient ${\displaystyle n_{\mathrm {air} }}$ moles de gaz à la pression atmosphérique P_atm , d’où

${\displaystyle n_{\mathrm {air} }={\frac {\mathrm {P_{atm}} \mathrm {V} }{\mathrm {R} \mathrm {T} }}}$

avec V : le volume intérieur (« vide ») du crayon

${\displaystyle n_{\mathrm {air} }={\frac {\mathrm {P_{atm}} \cdot \pi r^{2}l}{\mathrm {R} \mathrm {T} }}}$.

Et lorsque l’on plonge le stylo dans l’eau, la même quantité d’air est contenue à l’intérieur de celui-ci. En revanche, on remarque qu’à présent il y a un peu d’eau dans le crayon. Toujours d’après la loi des gaz parfaits, étant donné que seul le volume occupé par l’air a diminué, c’est la pression qui a augmenté :

${\displaystyle \mathrm {P_{air}} ={\frac {n_{\mathrm {air} }\mathrm {R} \mathrm {T} }{\mathrm {V_{air}} }}}$

d’où

${\displaystyle \mathrm {P_{air}} =\mathrm {P_{atm}} \left({\frac {l}{x}}\right)}$.

Attention : cette relation est fausse, en effet on ne peut pas appliquer ainsi la loi des gaz parfaits. On peut considérer la conservation de la quantité d'air mais la transformation de l'air n'est pas isotherme, c'est-à-dire pas à température constante. Par contre, on peut considérer la transformation rapide et sans échange de chaleur, il vaut mieux modéliser la réaction de l'air par un adiabatique réversible et utiliser la loi :

P⋅V^a = constante

avec a le rapport des capacités calorifiques à pression et volume constant (on peut aussi considérer a constant dans cette étude).

Pour de plus amples détails et précision, référez-vous au programme de thermodynamique de première année de mathématiques supérieures.

Intéressons nous maintenant à la pression exercée par la surface d’eau sur la surface d’air. Celle-ci se décompose en deux parties : la pression hydrostatique (celle subit par les plongeurs) et la pression exercée par le manipulateur. Si on considère l’eau comme un fluide incompressible, alors la totalité de la force exercée sur les parois de la bouteille est transmise sur la surface air-eau.

• La pression hydrostatique est donnée par : ${\displaystyle \mathrm {P_{hydrostatique}} =\rho _{\mathrm {eau} }gz+\mathrm {P_{atm}} }$.
• La pression exercée par le manipulateur sur le fluide est donnée par : ${\displaystyle \mathrm {P_{ext}} ={\frac {\mathrm {F_{ext}} }{\pi r^{2}}}}$.

D’où

${\displaystyle \mathrm {P_{eau}} =\rho _{\mathrm {eau} }gz+\mathrm {P_{atm}} +{\frac {\mathrm {F_{ext}} }{\pi r^{2}}}}$.

Prenons le système à l’équilibre : F_air = F_eau. Ces deux forces s’exercent sur une même surface. On en déduit que : P_air = P_eau, d’où

${\displaystyle x={\frac {\mathrm {P_{atm}} l}{\rho _{\mathrm {eau} }gz+\mathrm {P_{atm}} +\mathrm {P_{ext}} }}(2)}$.

On vient donc de relier la hauteur de la colonne d’air dans le stylo avec la pression exercée par le manipulateur sur la bouteille.

En combinant les équations (1) et (2), on peut alors définir la valeur minimum F₀ de F_ext nécessaire pour faire couler le stylo :

${\displaystyle \textstyle \mathrm {F} _{0}=(\pi r^{2})[\rho _{\mathrm {eau} }gz+\mathrm {P_{atm}} (1-x_{0})]}$.

Pour résumer :

• le système monte lorsque : F₀ < F_ext ;
• le système descend lorsque : F₀ > F_ext ;
• le système est immobile lorsque : F₀ = F_ext.

• [vidéo] Une vidéo de l'expérience du ludion sur YouTube