Lemme des bouts

Soit ${\displaystyle f\colon J\times U\to \mathbb {R} ^{n}}$ une fonction qui satisfait les hypothèses du théorème de Cauchy-Lipschitz et ${\displaystyle x\colon ]t^{-},t^{+}[\subseteq J\to U}$ une solution de l'équation ${\displaystyle x'=f(t,x)}$. La solution est maximale à droite si et seulement si

• soit ${\displaystyle t^{+}=\sup J}$;
• soit ${\displaystyle t^{+}<\sup J}$ et, lorsque ${\displaystyle t\to t^{+}}$, x(t) sort définitivement de tout compact de U.

De même dans le passé (solutions maximales à gauche)[1].