Jeu Blotto

À titre d’exemple de jeu Blotto, considérons le jeu dans lequel deux joueurs écrivent chacun trois nombres entiers positifs dans un ordre non décroissant et s’additionnant jusqu’à un nombre prédéfini S. Par la suite, les deux joueurs s’échangent leurs écrits afin de comparer les chiffres correspondants. Le joueur qui a deux numéros plus élevés que ceux de l'adversaire correspondant remporte la partie.

Pour S = 6, seuls trois choix de nombres sont possibles: (2, 2, 2), (1, 2, 3) et (1, 1, 4). Il est facile de voir que:

Tout triplé contre lui-même est un match nul

(1, 1, 4) contre (1, 2, 3) est un match nul

(1, 2, 3) contre (2, 2, 2) est un match nul

(2, 2, 2) bat (1, 1, 4)

Il s’ensuit que la stratégie optimale est (2, 2, 2), dans la mesure où elle ne fait pas pire que de casser même contre toute autre stratégie tout en battant une autre stratégie. Il existe cependant plusieurs équilibres de Nash. Si les deux joueurs choisissent la stratégie (2, 2, 2) ou (1, 2, 3), aucun d’entre eux ne peut battre l’autre en changeant de stratégie. Chaque paire de stratégies de ce type est donc un équilibre de Nash .

Pour les grands joueurs, le jeu devient de plus en plus difficile à analyser. Pour S = 12, on peut montrer que (2, 4, 6) représente la stratégie optimale, alors que pour S> 12, les stratégies déterministes ne sont pas optimales. Pour S = 13, choisir la stratégie (3, 5, 5), (3, 3, 7) et (1, 5, 7) avec une probabilité de 1/3 est la stratégie probabiliste optimale.

Le jeu de Borel est similaire à l'exemple ci-dessus pour les très gros S, mais les joueurs ne se limitent pas à des entiers ronds. Ils ont ainsi un nombre infini de stratégies pures disponibles, voire un continuum.

Ce concept est également mis en œuvre dans une histoire de Sun Bin lorsque vous regardez une course de chars avec trois courses différentes concurrentes. Dans les courses, chaque groupe avait la possibilité d’avoir une équipe de chars dans chaque course et chacun choisissait d’utiliser une stratégie de 1, 2, 3 (3 étant le char le plus rapide et 1 le plus lent) pour déployer leurs chars entre les trois. courses créant des victoires serrées dans chaque course et peu de résultats sûrs sur les gagnants. Lorsqu'on lui a demandé comment gagner, Sun Bin a conseillé au propriétaire du char de changer son déploiement en celui de 2, 3, 1. Bien qu'il soit sûr de perdre la course contre les chars les plus rapides (les 3 chars); il gagnerait chacune des autres races, avec ses 3 chars battant facilement 2 chars et ses 2 chars battant les 1 chars.

Ce jeu est couramment utilisé comme métaphore de la compétition électorale, deux partis politiques consacrant de l'argent ou des ressources pour attirer le soutien d'un nombre déterminé d'électeurs[6] - [7]. Chaque électeur est un "champ de bataille" qui peut être gagné par l'un ou l'autre parti. Le même jeu trouve également une application dans la théorie des enchères où les enchérisseurs doivent faire des offres simultanées[8].

Jean-François Laslier[9] Brian Roberson[10], Dmitriy Kvasov, a résolu plusieurs variantes du jeu original[11].