Accueil🇫🇷Chercher

Intégrale de Volkenborn

En mathématiques, dans le domaine de l'analyse p-adique, l’intégrale de Volkenborn est une méthode d'intégration des fonctions p-adiques.

Définition

Soit une fonction définie sur les entiers p-adiques à valeurs p-adiques. L'intégrale de Volkenborn est définie par la limite, si elle existe :

Plus généralement, si

alors

Cette intégrale tient son nom d'Arnt Volkenborn qui l'a définie dans sa thèse.

Exemples

Les quatre exemples ci-dessous se vérifient via la formule de Faulhaber :

est le e nombre de Bernoulli.

Les deux derniers exemples s'obtiennent par développement en série de Taylor puis par intégration terme à terme.

est le logarithme d'Iwasawa et la fonction digamma p-adique.

Propriétés

Il en résulte que l'intégrale de Volkenborn n'est pas invariante par translation.

En notant , on a :

Sources

  • Arnt Volkenborn: Ein p-adisches Integral und seine Anwendungen I. In: Manuscripta Mathematica. Bd. 7, Nr. 4, 1972,
  • Arnt Volkenborn: Ein p-adisches Integral und seine Anwendungen II. In: Manuscripta Mathematica. Bd. 12, Nr. 1, 1974,
  • Henri Cohen, "Number Theory", Volume II, page 276
Cet article est issu de wikipedia. Text licence: CC BY-SA 4.0, Des conditions supplémentaires peuvent s’appliquer aux fichiers multimédias.