Inéquation du premier degré

Une inéquation du premier degré se résout en isolant l'inconnue dans un des membres de l'inégalité à l'aide des règles élémentaires.

Pour tout réel a non nul, la représentation graphique de la droite d'équation y = ax + b confirme et illustre les résultats précédents.

pour a > 0	pour a < 0

• Si a > 0, « la droite monte » et ax + b est d'abord négatif (pour x < - b/a) puis positif
• Si a < 0, « la droite descend » et ax + b est d'abord positif (pour x < - b/a) puis négatif
• ax + b s'annule pour x = - b/a qui s'appelle la racine de ax + b

Ce qui fait dire que, pour tout a non nul, ax + b est du signe de a après sa racine

On résume ce résultat dans un tableau de signes qui indique, suivant les valeurs de x, le signe de ax + b. La première ligne du tableau positionne x sur la droite des réels, la seconde renseigne sur le signe de ax + b.

• pour a > 0

valeurs de x	${\displaystyle -\infty }$ -b/a ${\displaystyle +\infty }$
signe de ax + b	- 0 +

• pour a < 0

valeurs de x	${\displaystyle -\infty }$ -b/a ${\displaystyle +\infty }$
signe de ax + b	+ 0 -

Un système de deux inéquations du premier degré peut se réduire à la forme suivante :

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}ax+b<0\\{\text{et}}\\cx+d<0\end{matrix}}\right.}$

Résoudre ce système c'est trouver l'ensemble des réels x vérifiant à la fois la première inéquation et la seconde inéquation.

Méthode : il suffit de résoudre séparément chaque inéquation. On obtient alors pour chaque inéquation un intervalle solution ${\displaystyle I_{1}}$ pour la première inéquation, ${\displaystyle I_{2}}$ pour la seconde inéquation. l'ensemble solution du système est l'intersection des deux intervalles, c'est un intervalle.

Exemple : Résoudre le système ${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}2x+3<x+50\\{\text{et}}\\x^{2}+3x\leqslant (x+4)(x+5)\end{matrix}}\right.}$

• La première inéquation est équivalente aux inéquations suivantes :

2x < x + 47 on a retranché 3 à chaque membre de l'inéquation

x < 47 on a retranché x à chaque membre de l'inéquation

L'ensemble des solutions de la première inéquation est ${\displaystyle I_{1}=]-\infty ;47[}$

• La seconde inéquation est équivalente aux inéquations suivantes :

${\displaystyle x^{2}+3x\leqslant x^{2}+9x+20}$ on a développé et réduit le second membre

${\displaystyle 0\leqslant 6x+20}$ on a retranché ${\displaystyle x^{2}+3x}$ à chaque membre

${\displaystyle x\geqslant -10/3}$ on a utilisé la règle du signe de ax + b

L'ensemble des solutions de la seconde inéquation est ${\displaystyle I_{2}=[-10/3;+\infty [}$

L'ensemble des solutions du système est l'intervalle${\displaystyle I_{1}\cap I_{2}=[-10/3;47[}$

Remarque 1 : il existe parfois des systèmes d'inéquations : ${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}ax+b<0\\{\text{ou}}\\cx+d<0\end{matrix}}\right.}$ dont les solutions sont les réels ${\displaystyle x}$ vérifiant l'une ou l'autre des deux inéquation (il suffit que l'une au moins des inéquations soit vérifiée). L'ensemble des solutions sera alors l'union des ensembles solutions.
La première forme de système étant la plus courante, il est fréquent que le mot et n'apparaisse plus. En revanche, pour un système de la deuxième forme, le mot ou est indispensable.

Remarque 2 : on peut concevoir selon le même principe un système de trois, quatre, … n inéquations.