Inégalité de Young pour la convolution

Notons ${\displaystyle q':={\frac {q}{q-1}}}$ l'exposant conjugué de ${\displaystyle q}$ (c.-à-d. que 1/q + 1/q' = 1) et ${\displaystyle h(x,y):=|f(x-y)|^{p/r}|g(y)|}$. Ainsi,

${\displaystyle |f(x-y)g(y)|=h(x,y)|f(x-y)|^{p/q'}}$

donc, d'après l'inégalité de Hölder,

${\displaystyle |f\ast g\left(x\right)|\leq \|h(x,\cdot )\|_{q}\|f(x-\cdot )^{p/q'}\|_{q'}=\|h(x,\cdot )\|_{q}\|f\|_{p}^{p/q'},}$

si bien que (en excluant le cas immédiat ${\displaystyle r=\infty }$)

${\displaystyle \|f\ast g\|_{r}\leq \|f\|_{p}^{p/q'}\left(\int \|h(x,\cdot )\|_{q}^{r}\,\mathrm {d} x\right)^{1/r}=\|f\|_{p}^{p/q'}\left(\int \left(\int h(x,y)^{q}\,\mathrm {d} y\right)^{r/q}\,\mathrm {d} x\right)^{1/r}.}$

Or d'après l'inégalité intégrale de Minkowski,

${\displaystyle \left(\int \left(\int h(x,y)^{q}\,\mathrm {d} y\right)^{r/q}\,\mathrm {d} x\right)^{q/r}\leq \int \left(\int h(x,y)^{r}\,\mathrm {d} x\right)^{q/r}\,\mathrm {d} y=\int \|f(\cdot -y)\|_{p}^{pq/r}|g(y)|^{q}\,\mathrm {d} y=\|f\|_{p}^{pq/r}\|g\|_{q}^{q}.}$

On peut ainsi conclure :

${\displaystyle \|f\ast g\|_{r}\leq \|f\|_{p}^{p/q'}\left(\|f\|_{p}^{pq/r}\|g\|_{q}^{q}\right)^{1/q}=\|f\|_{p}\|g\|_{q}.}$