Inégalité de Schur

Soit ${\displaystyle a,b,c}$ des nombres réels positifs et ${\displaystyle k}$ un réel strictement positif, alors :

${\displaystyle a^{k}(a-b)(a-c)+b^{k}(b-c)(b-a)+c^{k}(c-a)(c-b)\geq 0.}$

avec égalité si et seulement si ${\displaystyle a,b,c}$ sont égaux ou si deux d'entre eux sont égaux et le troisième est nul.

Quitte à permuter les variables, on peut supposer ${\displaystyle c\leq b\leq a}$. En arrangeant les termes, l'inégalité à démontrer est équivalente à :

${\displaystyle (a-b)\left(a^{k}(a-c)-b^{k}(b-c)\right)+c^{k}(a-c)(b-c)\geq 0.}$

Cette dernière inégalité est immédiate car tous les termes à gauche sont positifs.