Inégalité de Lebedev-Milin

Etant donné une série exponentielle,

${\displaystyle \sum _{k\geq 0}\beta _{k}z^{k}=\exp \left(\sum _{k\geq 1}\alpha _{k}z^{k}\right)}$

pour ${\displaystyle \beta _{k}}$ et ${\displaystyle \alpha _{k}}$ complexes, et ${\displaystyle n}$ est un entier positif, alors

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }|\beta _{k}|^{2}\leq \exp \left(\sum _{k=1}^{\infty }k|\alpha _{k}|^{2}\right),}$

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}|\beta _{k}|^{2}\leq (n+1)\exp \left({\frac {1}{n+1}}\sum _{m=1}^{n}\sum _{k=1}^{m}(k|\alpha _{k}|^{2}-1/k)\right),}$

${\displaystyle |\beta _{n}|^{2}\leq \exp \left(\sum _{k=1}^{n}(k|\alpha _{k}|^{2}-1/k)\right).}$

Voir aussi formule exponentielle (sur l'exponentiation des séries entières).

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Lebedev–Milin inequality » (voir la liste des auteurs).