Inégalité de Bernstein

On notera

${\displaystyle \Lambda =\max \limits _{1\leq k\leq p}|\lambda _{k}|}$

On peut se ramener au cas où cette constante a une valeur choisie, par exemple ${\displaystyle \Lambda ={\frac {\pi }{2}}}$, en effectuant le changement de variables ${\displaystyle u={\frac {\pi t}{2\Lambda }}}$. On supposera que ${\displaystyle \Lambda }$ a cette valeur dans la suite.

On utilise la formule suivante

${\displaystyle \forall x\in [-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}],\qquad x=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }\gamma _{n}e^{inx}}$

avec

${\displaystyle \gamma _{2n}=0,\qquad \gamma _{2n+1}={\frac {2(-1)^{n+1}i}{\pi (2n+1)^{2}}},}$

formule issue de la théorie des séries de Fourier. Il s'agit en effet du développement en série de Fourier d'une fonction triangle.

Si on décompose les facteurs ${\displaystyle \lambda _{k}}$ apparaissant dans la dérivée de f à l'aide de cette formule,

${\displaystyle f'(t)=\sum _{k=1}^{p}\left(\sum _{n=-\infty }^{+\infty }\gamma _{n}e^{in\lambda _{k}}\right)i\alpha _{k}e^{i\lambda _{k}t}=i\sum _{n=-\infty }^{+\infty }\gamma _{n}\sum _{k=1}^{p}\alpha _{k}e^{i\lambda _{k}(t+n)}}$

Finalement la dérivée s'exprime comme

${\displaystyle f'(t)=i\sum _{n=-\infty }^{+\infty }\gamma _{n}f(t+n)}$

Ce qui peut être majoré par

${\displaystyle |f'(t)|\leq \left(\sum _{n=-\infty }^{+\infty }|\gamma _{n}|\right)\cdot \|f\|_{\infty }}$

Or pour ${\displaystyle t={\frac {\pi }{2}}}$, tous les termes ${\displaystyle \gamma _{n}e^{int}}$ sont réels positifs, donc

${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{+\infty }|\gamma _{n}|={\frac {\pi }{2}}}$

Ce qui est bien la propriété souhaitée :

${\displaystyle \|f'\|_{\infty }\leq \Lambda \cdot \|f\|_{\infty }}$