Hiérarchie (mathématiques)

On appelle indice sur un hiérarchie H de ${\displaystyle \Omega }$ une fonction i de ${\displaystyle H\backslash \left\{\ \emptyset \ \right\}}$ dans ${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$ vérifiant les propriétés :

• si ${\displaystyle H_{k}\subset H_{\ell }}$ et ${\displaystyle k\neq \ell }$, alors, ${\displaystyle i(H_{k})<i(H_{\ell })}$.
• quel que soit ${\displaystyle x_{i}}$ de ${\displaystyle \Omega }$, ${\displaystyle i(\{x_{i}\})=0}$.

Le couple ${\displaystyle (H,i)}$ est alors appelé hiérarchie indexée.

Dans le cas de données continues, la fonction d'inertie définit un indice. En considérant l'exemple précédent et en considérant que les points ${\displaystyle x_{i}}$ sont des points de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ de coordonnées

• ${\displaystyle x_{1}=(1,0)\,}$
• ${\displaystyle x_{2}=(1,0.5)\,}$
• ${\displaystyle x_{3}=(2,2)\,}$
• ${\displaystyle x_{4}=(2,2.2)\,}$

La fonction d'inertie prend les valeurs suivantes :

• ${\displaystyle i\left(\{x_{1}\}\right)=0\,}$
• ${\displaystyle i\left(\{x_{2}\}\right)=0\,}$
• ${\displaystyle i\left(\{x_{3}\}\right)=0\,}$
• ${\displaystyle i\left(\{x_{4}\}\right)=0\,}$
• ${\displaystyle i\left(\{x_{1},x_{2}\}\right)=1.125\,}$
• ${\displaystyle i\left(\{x_{3},x_{4}\}\right)=0.2\,}$
• ${\displaystyle i\left(\{x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}\}\right)=4.5674\,}$

Une telle hiérarchie peut être représentée par le dendrogramme suivant :