Formule limite de Kronecker

La (première) formule limite de Kronecker donne

${\displaystyle E(\tau ,s)={\pi \over s-1}+2\pi (\gamma -\log(2)-\log({\sqrt {y}}|\eta (\tau )|^{2}))+O(s-1)}$

où

• E(τ,s) est la série réelle analytique d'Eisenstein, donnée par

${\displaystyle E(\tau ,s)=\sum _{(m,n)\neq (0,0)}{y^{s} \over |m\tau +n|^{2s}}}$

pour Re(s) > 1, et par prolongement par continuité analytique pour des valeurs différentes du nombre complexe s.

• γ est la constante d'Euler-Mascheroni
• τ = x + iy avec y > 0.
• ${\displaystyle \eta (\tau )=q^{1/24}\prod _{n\geq 1}(1-q^{n})}$, avec q = e^{2π i τ}, est la fonction êta de Dedekind.

Ainsi, la série d'Eisenstein admet un pôle en s = 1 de résidu π, et la (première) formule limite de Kronecker donne le terme constant de la série de Laurent en ce pôle.

La seconde formule limite de Kronecker donne

${\displaystyle E_{u,v}(\tau ,1)=-2\pi \log |f(u-v\tau$ ;\tau )q^{v^{2}/2}|}

où

• u et v sont des réels non entiers.
• q = e^{2π i τ} et q^a = e^{2π i aτ}
• p = e^{2π i z} et p^a = e^{2π i az}
• ${\displaystyle E_{u,v}(\tau ,s)=\sum _{(m,n)\neq (0,0)}e^{2\pi i(mu+nv)}{y^{s} \over |m\tau +n|^{2s}}}$

pour Re(s) > 1, et est définie par prolongement par continuité analytique pour des valeurs différentes du nombre complexe s.

• ${\displaystyle f(z,\tau )=q^{1/12}(p^{1/2}-p^{-1/2})\prod _{n\geq 1}(1-q^{n}p)(1-q^{n}/p).}$

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Kronecker limit formula » (voir la liste des auteurs).
• (en) Serge Lang, Elliptic Functions (ISBN 0-387-96508-4)
• (en) C. L. Siegel, Lectures on Advanced Analytic Number Theory, Tata Institute, 1961

(en) William B. Hart, « Evaluation of the Dedekind Eta Function (PhD thesis), chapter 0: Preliminaries », 2004