Formule de Newton-Cotes
MĂ©thodologie
La fonction f est Ă©valuĂ©e en des points Ă©quidistants xi = a + iÎ, pour i = 0, ⊠, n et Î = (b â a)/n. La formule de degrĂ© n est dĂ©finie ainsi :
oĂč les wi sont appelĂ©s les coefficients de quadrature. Ils se dĂ©duisent d'une base de polynĂŽmes de Lagrange et sont indĂ©pendants de la fonction f.
Plus précisément, si L(x) est l'interpolation lagrangienne aux points (xi, f(xi)) et
, alors :
Ainsi ;
Le changement de variable
conduit Ă l'expression[1]:
![{\displaystyle w_{i}={\frac {(b-a)}{n}}{\frac {(-1)^{n-i}}{i!(n-i)!}}\int _{0}^{n}\prod _{k=0,k\neq i}^{n}(y-k)~{\rm {d}}y.}](https://img.franco.wiki/i/74cd096d8e2b76e385628ea9068a57a8084ac6b8.svg)
Application pour n = 1
En calculant l'expression précédente lorsque n=1 et i=0, on obtient
![{\displaystyle {\begin{aligned}w_{0}&=(b-a){\frac {(-1)^{1-0}}{0!\,(1-0)!}}\int _{0}^{1}\prod _{k=0,k\neq 0}^{1}(y-k)~{\rm {d}}y\\&=-(b-a)\int _{0}^{1}(y-1)~{\rm {d}}y\\&=-(b-a)\left[{\frac {(y-1)^{2}}{2}}\right]_{0}^{1}\\&={\frac {b-a}{2}}.\end{aligned}}}](https://img.franco.wiki/i/6de6b93f5103b0a24b6f920e733e776aa6e16bc2.svg)
On obtient de la mĂȘme maniĂšre
. On a ainsi retrouvé les coefficients de quadrature de la méthode des trapÚzes.
Soit un intervalle [a, b] sĂ©parĂ© en n intervalles de longueur Î = (b â a)/n. On note fi = f(a + i Î) et Ο un Ă©lĂ©ment indĂ©terminĂ© de ]a, b[. Les formules relatives aux premiers degrĂ©s sont rĂ©sumĂ©es dans le tableau suivant :
Degré | Nom commun | Formule |
Terme d'erreur |
1 | MĂ©thode des trapĂšzes |
![{\displaystyle {\frac {b-a}{2}}(f_{0}+f_{1})}](https://img.franco.wiki/i/898874be93dd6abb959fcbef070b3ddcb08c96f9.svg) |
![{\displaystyle -{\frac {(b-a)^{3}}{12}}\,f^{(2)}(\xi )}](https://img.franco.wiki/i/832a38281b02d44403f66937c749653209eefe07.svg) |
2 | MĂ©thode de Simpson 1/3 |
![{\displaystyle {\frac {b-a}{6}}(f_{0}+4f_{1}+f_{2})}](https://img.franco.wiki/i/d80da787700ee8d6df4377f5b2108594c8063f0f.svg) |
![{\displaystyle -{\frac {(b-a)^{5}}{2880}}\,f^{(4)}(\xi )}](https://img.franco.wiki/i/d38ffd6cac3fce4da01d9ded54e22fbdb7602eab.svg) |
3 | MĂ©thode de Simpson 3/8 |
![{\displaystyle {\frac {b-a}{8}}(f_{0}+3f_{1}+3f_{2}+f_{3})}](https://img.franco.wiki/i/576acf1c9916f415bcdc06ede2876e3687ab8776.svg) |
![{\displaystyle -{\frac {(b-a)^{5}}{6480}}\,f^{(4)}(\xi )}](https://img.franco.wiki/i/713aaa869b1dd59e763743c8ec6f3cf92af97463.svg) |
4 | MĂ©thode de Boole-Villarceau |
![{\displaystyle {\frac {b-a}{90}}(7f_{0}+32f_{1}+12f_{2}+32f_{3}+7f_{4})}](https://img.franco.wiki/i/5c0825d67febc5a0f8529b0cff79c65691119a32.svg) |
![{\displaystyle -{\frac {(b-a)^{7}}{1935360}}\,f^{(6)}(\xi )}](https://img.franco.wiki/i/07b326c85505d44cbb36f97f2e58fefa71da8248.svg) |
6 | MĂ©thode de Weddle-Hardy |
![{\displaystyle {\frac {b-a}{840}}(41f_{0}+216f_{1}+27f_{2}+272f_{3}+27f_{4}+216f_{5}+41f_{6})}](https://img.franco.wiki/i/5260cac3e4ef9e339a6160dbb8fec270d508fc9e.svg) |
![{\displaystyle -{\frac {(b-a)^{9}}{1567641600}}\,f^{(8)}(\xi )}](https://img.franco.wiki/i/6d8a035b317a5e8db5bb8274896ce014b69eb996.svg) |
Les formules relatives aux degrés supérieurs sont donnés dans le tableau suivant :
Degré | Nombre de points | Formule |
Terme d'erreur |
7 | MĂ©thode Ă 8 points[1] |
![{\displaystyle {\frac {b-a}{17280}}(751(f_{0}+f_{7})+3577(f_{1}+f_{6})+1323(f_{2}+f_{5})+2989(f_{3}+f_{4}))}](https://img.franco.wiki/i/063f5095d80fae431d0b96e1cc2a47bca8718c1c.svg) |
![{\displaystyle -{\frac {8183}{518400}}{\frac {(b-a)^{9}}{7^{9}}}\,f^{(8)}(\xi )}](https://img.franco.wiki/i/2edfbc6ec36e3933515384664dd341244b853a00.svg) |
8 | MĂ©thode Ă 9 points[1] |
![{\displaystyle {\frac {b-a}{28350}}(989(f_{0}+f_{8})+5888(f_{1}+f_{7})-928(f_{2}+f_{6})+10496(f_{3}+f_{5})-4540f_{4}}](https://img.franco.wiki/i/635a847c26bb985bbbd6e66657bd1140d2f93b90.svg) |
![{\displaystyle -{\frac {2368}{467775}}{\frac {(b-a)^{11}}{8^{11}}}\,f^{(10)}(\xi )}](https://img.franco.wiki/i/e952672b264328bbfdd10639b59497fda205cf28.svg) |
9 | MĂ©thode Ă 10 points[1] |
![{\displaystyle {\frac {b-a}{89600}}(2857(f_{0}+f_{9})+15741(f_{1}+f_{8})+1080(f_{2}+f_{7})+19344(f_{3}+f_{6})+5778(f_{4}+f_{5}))}](https://img.franco.wiki/i/9ecbabf0aa319ac99b71a6b17ab22c8ca5dfb4ab.svg) |
![{\displaystyle -{\frac {519}{394240}}{\frac {(b-a)^{11}}{9^{10}}}\,f^{(10)}(\xi )}](https://img.franco.wiki/i/37652a283f9e02fd993447933dcb80b5c62c77c4.svg) |
10 | MĂ©thode Ă 11 points[1] |
![{\displaystyle {\frac {b-a}{598752}}(16067(f_{0}+f_{10})+106300(f_{1}+f_{9})-48525(f_{2}+f_{8})+272400(f_{3}+f_{7})-260550(f_{4}+f_{6})+427368f_{5})}](https://img.franco.wiki/i/b9e4128dddd15513b1edb1a289c16da0461680d1.svg) |
![{\displaystyle -{\frac {1346350}{326918592}}{\frac {(b-a)^{13}}{{10}^{13}}}\,f^{(12)}(\xi )}](https://img.franco.wiki/i/d59764e63990bee48615afc01f3104ee9a67f78c.svg) |
Ordre de la méthode
L'ordre d'une formule de quadrature est définie comme le plus grand entier m pour lequel la valeur calculée par la formule vaut exactement l'intégrale recherchée pour tout polynÎme de degré inférieur ou égal à m.
L'ordre de la formule de Newton-Cotes de degré n est supérieur ou égal à n, car on a alors L=f pour tout f polynÎme de degré inférieur ou égal à n.
On peut en fait montrer le résultat suivant[2]:
Si n est impair, alors la méthode de Newton-Cotes de degré n est d'ordre n.
Si n est pair, alors la méthode de Newton-Cotes de degré n est d'ordre n+1.
L'ordre donne une indication de l'efficacité d'une formule de quadrature. Les formules de Newton-Cotes sont donc généralement utilisées pour des degrés pairs.
Convergence
Bien qu'une formule de Newton-Cotes puisse ĂȘtre Ă©tablie pour n'importe quel degrĂ©, l'utilisation de degrĂ©s supĂ©rieurs peut causer des erreurs d'arrondi[2], et la convergence nâest pas assurĂ©e lorsque le degrĂ© augmente Ă cause du phĂ©nomĂšne de Runge. Pour cette raison, il est gĂ©nĂ©ralement prĂ©fĂ©rable de se restreindre aux premiers degrĂ©s, et d'utiliser des formules composites pour amĂ©liorer la prĂ©cision de la formule de quadrature. Toutefois, la mĂ©thode de Newton-Cotes d'ordre 8 est employĂ©e dans le livre Computer Methods for Mathematical Computations, de Forsythe, Malcolm et Moler, qui a joui d'un succĂšs certain dans les annĂ©es 70 et 80. Elle y apparaĂźt sous la forme d'une mĂ©thode adaptative : QUANC8[3].
Références
Liens externes
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