Formule de Hagen-Rubens

On part des équations de Maxwell et on exprime la densité de courant en fonction du champ électrique en utilisant la loi d'Ohm.

On obtient:

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\sigma \mathbf {E} +\mu _{0}\epsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}}$

et:

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial B}{\partial t}}}$

En éliminant le champ magnétique, on trouve une équation différentielle au dérivées partielles du second ordre pour le champ électrique. Cette équation s'écrit:

${\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {E} =\mu _{0}\sigma {\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {E} }{\partial t^{2}}}}$

On cherche une solution de cette équation sous la forme ${\displaystyle E(x,t)=E_{0}e^{ikx-i\omega t}}$, ce qui donne:

${\displaystyle k={\frac {\omega }{c}}\left(1+{\frac {i\sigma }{\omega \epsilon _{0}}}\right)^{1/2}}$

Un métal se comporte donc comme un milieu d'indice de réfraction complexe ${\displaystyle N(\omega )=\left(1+{\frac {i\sigma }{\omega \epsilon _{0}}}\right)^{1/2}}$

La partie imaginaire de ${\displaystyle N(\omega )}$ est responsable de l'effet de peau du métal.

En appliquant la formule donnant le coefficient de réflexion sur un milieu d'indice ${\displaystyle N(\omega )}$ et en supposant une fréquence telle que ${\displaystyle \sigma \gg \epsilon _{0}\omega }$ on obtient la relation de Hagen-Rubens.