Fonction harmonique positive

Une fonction positive f du disque unité avec f(0) = 1 est harmonique si et seulement s'il existe une mesure de probabilité µ sur le cercle unité telle que

${\displaystyle f(re^{i\theta })=\int _{0}^{2\pi }{1-r^{2} \over 1-2r\cos(\theta -\varphi )+r^{2}}\,d\mu (\varphi ).}$

La formule définit clairement une fonction harmonique positive avec f(0) = 1.

Réciproquement, si f est positive et harmonique et r_n croît jusqu'à 1, on définit

${\displaystyle f_{n}(z)=f(r_{n}z).\,}$

Alors

${\displaystyle f_{n}(re^{i\theta })={1 \over 2\pi }\int _{0}^{2\pi }{1-r^{2} \over 1-2r\cos(\theta -\varphi )+r^{2}}\,f_{n}(\varphi )\,d\phi =\int _{0}^{2\pi }{1-r^{2} \over 1-2r\cos(\theta -\varphi )+r^{2}}d\mu _{n}(\varphi )}$

où

${\displaystyle d\mu _{n}(\varphi )={1 \over 2\pi }f(r_{n}e^{i\varphi })\,d\varphi }$

est une mesure de probabilité.

Par un argument de compacité (ou de manière équivalente dans ce cas par le théorème de sélection de Helly pour les intégrales de Stieltjes), une sous-suite de ces mesures de probabilité a une limite faible qui est aussi une mesure de probabilité µ.

Puisque r_n croît jusqu'à 1, de sorte que f_n(z) tend vers f(z), la formule de Herglotz en découle.

Une fonction holomorphe f du disque unité telle que f(0) = 1 a une partie réelle positive si et seulement s'il existe une mesure de probabilité µ sur le cercle unité telle que

${\displaystyle f(z)=\int _{0}^{2\pi }{1+e^{-i\theta }z \over 1-e^{-i\theta }z}\,d\mu (\theta ).}$

Cela découle du théorème précédent, parce que:

• le noyau de Poisson est la partie réelle de la fonction à intégrer ci-dessus;
• la partie réelle d'une fonction holomorphe est harmonique et caractérise cette dernière (à une constante additive près);
• la formule ci-dessus définit une fonction holomorphe, la partie réelle étant donné par le théorème précédent.

Soit

${\displaystyle f(z)=1+a_{1}z+a_{2}z^{2}+\cdots }$

une fonction holomorphe du disque unité. Alors f(z) a une partie réelle positive sur le disque si et seulement si

${\displaystyle \sum _{m}\sum _{n}a_{m-n}\lambda _{m}{\overline {\lambda _{n}}}\geq 0}$

pour tous nombres complexes λ₀, λ₁, ..., λ_N, où

${\displaystyle a_{0}=2,\,\,\,a_{-m}={\overline {a_{m}}}}$

pour m > 0.

En effet, à partir de la représentation de Herglotz  pour n > 0, on a

${\displaystyle a_{n}=2\int _{0}^{2\pi }e^{-in\theta }\,d\mu (\theta ).}$

Donc

${\displaystyle \sum _{m}\sum _{n}a_{m-n}\lambda _{m}{\overline {\lambda _{n}}}=\int _{0}^{2\pi }\left|\sum _{n}\lambda _{n}e^{-in\theta }\right|^{2}\,d\mu (\theta )\geq 0.}$

Réciproquement, en posant λ_n = zⁿ, il vient

${\displaystyle \sum _{m=0}^{\infty }\sum _{n=0}^{\infty }a_{m-n}\lambda _{m}{\overline {\lambda _{n}}}=2(1-|z|^{2})\,\Re \,f(z).}$

• Théorème de Bochner

• C. Carathéodory, « Über den Variabilitätsbereich der Koeffizienten von Potenzreihen, die gegebene Werte nicht annehmen », Math. Ann., vol. 64,‎ 1907, p. 95–115 (DOI 10.1007/bf01449883)
• P. L. Duren, Univalent functions, vol. 259, Springer-Verlag, coll. « Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften », 1983, 384 p. (ISBN 0-387-90795-5, lire en ligne)
• G. Herglotz, « Über Potenzreihen mit positivem, reellen Teil im Einheitskreis », Ber. Verh. Sachs. Akad. Wiss. Leipzig, vol. 63,‎ 1911, p. 501–511
• C. Pommerenke, Univalent functions, with a chapter on quadratic differentials by Gerd Jensen, vol. 15, Vandenhoeck & Ruprecht, coll. « Studia Mathematica/Mathematische Lehrbücher », 1975