Fonction de Hankel

Les fonctions de Hankel du premier ou deuxième type sont utilisées pour exprimer des solutions en physique des ondes entrantes ou sortantes en géométrie cylindrique. Par exemple, dans un problème de diffraction par un cylindre infiniment long et éclairé par une onde plane, l'équation de Helmholtz en coordonnées cylindriques (ρ , θ , z) mènera à l'équation de Bessel décrite ci-dessus :

${\displaystyle \Delta f+k^{2}f\ =\ 0}$ (équation de Helmholtz)

${\displaystyle \Delta f={1 \over \rho }{\partial \over \partial \rho }\left(\rho {\partial f \over \partial \rho }\right)+{1 \over \rho ^{2}}{\partial ^{2}f \over \partial \theta ^{2}}+{\partial ^{2}f \over \partial z^{2}}}$ (Laplacien en coordonnées cylindriques)

${\displaystyle {1 \over \rho }{\partial \over \partial \rho }\left(\rho {\partial f \over \partial \rho }\right)+k^{2}f=0}$

${\displaystyle {\partial ^{2}f \over \partial \rho ^{2}}+{1 \over \rho }{\partial f \over \partial \rho }+k^{2}f=0}$

${\displaystyle (k\rho )^{2}{\partial ^{2}f \over \partial (k\rho )^{2}}+k\rho \ {\partial f \over \partial (k\rho )}+(k\rho )^{2}f=0}$ (équation de Bessel avec x = k ρ et α = 0)

Les conditions aux limites de radiation du problème de Helmholtz imposent alors comme solution les fonctions de Hankel ${\displaystyle f=H_{0}^{(1)}(k\rho )/4\mathrm {i} }$.

• Expression en fonction de Bessel de première espèce :

${\displaystyle H_{\alpha }^{(1)}(x)={\frac {J_{-\alpha }(x)-\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \alpha \pi }J_{\alpha }(x)}{\mathrm {i} \sin(\alpha \pi )}}}$

${\displaystyle H_{\alpha }^{(2)}(x)={\frac {J_{-\alpha }(x)-\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \alpha \pi }J_{\alpha }(x)}{-\mathrm {i} \sin(\alpha \pi )}}}$

• Relation sur α :

${\displaystyle H_{-\alpha }^{(1)}(x)=\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \alpha \pi }H_{\alpha }^{(1)}(x)}$

${\displaystyle H_{-\alpha }^{(2)}(x)=\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \alpha \pi }H_{\alpha }^{(2)}(x)}$

• Comportement asymptotique :

${\displaystyle H_{0}^{+}(\mathrm {i} x)=-{\frac {2\mathrm {i} }{\pi }}\ K_{0}(x)\ \sim \ -\mathrm {i} {\sqrt {\frac {2}{\pi x}}}\,\mathrm {e} ^{-x}}$

${\displaystyle H_{0}^{-}(-\mathrm {i} x)={\frac {2\mathrm {i} }{\pi }}\ K_{0}(x)\ \sim \ \mathrm {i} {\sqrt {\frac {2}{\pi x}}}\,\mathrm {e} ^{-x}}$

${\displaystyle {\textrm {pour}}\ x\in \mathbb {R} \ {\textrm {avec}}\ |x|\gg {\frac {1}{4}}}$

Une fonction de Hankel "oscille" si son argument x est uniquement réel, et converge de manière exponentielle si ce même argument est imaginaire pur.

• (en) Eric W. Weisstein, « Hankel Function of the First Kind », sur MathWorld
• (en) Eric W. Weisstein, « Hankel Function of the Second Kind », sur MathWorld