Fonction CES

La fonction de production CES (Constant Elasticity of Substitution) est une forme particulière de fonction de production néoclassique introduite par Arrow, Chenery, Minhas et Solow en 1961[1]. Dans cette approche, la technologie de production utilise des pourcentages de variations constants des proportions des facteurs (capital et travail) à la suite d’une variation de un pour cent du taux marginal de substitution technique (TMST).

${\displaystyle Q=F\cdot \left(a\cdot K^{r}+(1-a)\cdot L^{r}\right)^{\frac {\nu }{r}}}$

avec

• Q = production
• F = Productivité du facteur
• a = paramètre de partage
• K, L = facteurs de production primaires (capital et travail)
• ${\displaystyle r}$ = ${\displaystyle {\frac {(s-1)}{s}}}$
• avec ${\displaystyle s}$ = Elasticité de substitution.
• ${\displaystyle \nu }$= degré d'homogénéité de la fonction de production. si ${\displaystyle \nu }$ = 1 rendement d'échelle constant,  ${\displaystyle \nu }$< 1 rendement d'échelle décroissant,  ${\displaystyle \nu }$> 1 rendement d'échelle croissant

La fonction de production CES utilise des élasticités de substitution constantes entre le capital et le travail. Les fonctions de production de Cobb-Douglas et de Leontief sont des cas particuliers de la fonction de production CES : lorsque s tend vers 1 on obtient une fonction Cobb-Douglas ; lorsque s tend vers l’infini on obtient une fonction linéaire (substituabilité parfaite); lorsque 's' tend vers zéro on obtient la fonction de Leontief (complémentarité). La forme générale de la fonction de production CES est :

${\displaystyle Q=F\left[\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{\frac {1}{s}}X_{i}^{\frac {(s-1)}{s}}\ \right]^{\frac {s}{(s-1)}}}$

Avec :

• Q = production
• F = Productivité du facteur
• a = paramètre de partage
• X = facteurs de production (i = 1,2...n)
• s = élasticité de substitution.

Les fonctions CES imbriquées sont souvent à la base des modèles d’équilibre général. Ces fonctions sont également utilisées dans la théorie du consommateur.

À l'instar de la fonction de le production CES, c'est le TMS qui est, pour la fonction d'utilité, constant. En effet le rapport des utilités marginales doit permettre d'arriver à ${\displaystyle 1/(1-p)}$ avec ${\displaystyle p}$ une constante. A toutes fins utiles:

Si ${\displaystyle p\rightarrow {}1}$ nous sommes en présence de biens parfaitement substituables

Si ${\displaystyle p\rightarrow {}\infty }$ alors les biens sont complémentaires.

Afin de manipuler cette fonction, la partie 1.2 du sujet ENS 2020 présente un bon exemple.