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Empilement de carrés dans un carré

L'empilement de carrés dans un carré est un problème d'empilement bidimensionnel dont l'objectif est d'empiler des carrés unités (côté 1) identiques de nombre n dans le carré le plus petit possible de côté a. Si a est un entier, la réponse est a2.

La plus petite valeur de a qui permet d'empiler des carrés de n unités est connue lorsque n est un carré parfait (auquel cas il est n), ainsi que pour n = 2, 3, 5, 6, 7, 8, 10 , 14, 15, 24 et 35. Le tableau ci-dessous indique la valeur optimale de a pour n ≤ 10[1] - [2].

Nombre de carrés unités n Longueur d'un côté du carré extérieur Figure Démonstration[3]
1 1 Immédiat
2 2 Frits Göbel - 1979
3 2 Frits Göbel - 1979
4 2 Immédiat
5 2 + 1/2 ≈ 2,707 Frits Göbel - 1979
6 3 Michael Kearney et Peter Shiu - 2002
7 3 Erich Friedman - 1999
8 3 Erich Friedman - 1999
9 3 Immédiat
10 3 + 1/2 ≈ 3,707 Walter Stromquist -1979

D'autres résultats qui ne permettent pas d'établir des empilements optimaux exacts sont connus. Par exemple :

  • S'il est possible d'emballer n2 2 carrés unitaires dans un carré du côté a, alors an[4].
  • L'approche naïve dans laquelle tous les carrés sont parallèles aux axes de coordonnées et sont placés en contact bord à bord laisse un espace perdu de moins de a + 1 dans un carré du côté a[1].
  • L'espace gaspillé d'une solution optimale est asymptotiquement o(a7/11) ((ici écrit en petite notation))[5].
  • Toutes les solutions doivent gaspiller de l'espace au moins Ω(a1/2) pour certaines valeurs de a[6]
  • 11 carrés unitaires ne peuvent pas être emballés dans un carré de côté inférieur à . En revanche, l'empilement le plus serré connu de 11 carrés se trouve à l'intérieur d'un carré de longueur approximative de 3,8772[2].

Références

  1. (en) Erich Friedman, Packing unit squares in squares: a survey and new results, (MR 1668055, lire en ligne).
  2. (en) Walter Stromquist, Packing 10 or 11 unit squares in a square, vol. 10, (MR 2386538, lire en ligne).
  3. Comment ranger au mieux des carrés, des cercles et autres formes ? Jean-Paul Delahaye, 26 décembre 2018, Pour la science, N° 495
  4. (en) Michael J. Kearney et Peter Shiu, Efficient packing of unit squares in a square, vol. 9, (MR 1912796, lire en ligne).
  5. (en) P. Erdős et R. L. Graham, On packing squares with equal squares, vol. 19, coll. « Series A », , 119–123 p. (DOI 10.1016/0097-3165(75)90099-0, MR 0370368, lire en ligne).
  6. (en) K. F. Roth et R. C. Vaughan, Inefficiency in packing squares with unit squares, vol. 24, coll. « Series A », , 170–186 p. (DOI 10.1016/0097-3165(78)90005-5, MR 0487806).

Liens externes

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