Droite de Philon

Démonstration :

On trace le cercle de diamètre [OA]. Ce cercle rencontre la demi-droite (Ox) en O et B et la demi-droite (Oy) en O et C. Le pied de la hauteur issue de O dans le triangle OMN est le point d'intersection de ce cercle avec la droite (MN). Si on suppose que le point A est plus proche de (Ox) que de (Oy), le plus court chemin MN sera obtenu pour un point H situé sur l'arc de cercle (AC).

On appelle a la distance OA, h la distance OH, φ l'angle AOH, θ_b l'angle AOB et θ_c l'angle AOC. La trigonométrie dans les triangles rectangles permet d'obtenir les relations suivantes :

${\displaystyle NH=h\tan(\theta _{c}-\varphi )}$

${\displaystyle HM=h\tan(\theta _{b}+\varphi )}$

${\displaystyle HA=h\tan(\varphi )}$

${\displaystyle AM=h\tan(\theta _{b}+\varphi )-h\tan(\varphi )}$

${\displaystyle h=a\cos(\varphi )}$

La distance que l'on cherche à optimiser est alors :

${\displaystyle L(\varphi )=a\cos(\varphi )\left(\tan(\theta _{c}-\varphi )+\tan(\theta _{b}+\varphi )\right)}$

La dérivée de L s'exprime alors sous la forme :

${\displaystyle L'(\varphi )=a\cos(\varphi )\left(-\tan ^{2}(\theta _{c}-\varphi )+\tan ^{2}(\theta _{b}+\varphi )\right)-a\sin(\varphi )\left(\tan(\theta _{c}-\varphi )+\tan(\theta _{b}+\varphi )\right)}$

${\displaystyle L'(\varphi )=a\cos(\varphi )\left(\tan(\theta _{c}-\varphi )+\tan(\theta _{b}+\varphi )\right)\left(-\tan(\theta _{c}-\varphi )+\tan(\theta _{b}+\varphi )-\tan(\varphi )\right)}$

${\displaystyle L'(\varphi )=L(\varphi )\left(-\tan(\theta _{c}-\varphi )+\tan(\theta _{b}+\varphi )-\tan(\varphi )\right)={\frac {1}{h}}L(\varphi )(AM-HN)}$

Le signe de la dérivée est donc celui de la différence AM - HN. Lorsque l'angle φ augmente, AM augmente et HN diminue. La différence augmente et passe d'une valeur négative (si H est en A) à une valeur positive (si H est en B) et s'annule donc pour une valeur φ₀.

La longueur L(φ) est donc décroissante puis croissante et atteint son minimum pour une valeur φ₀ telle que AM = HN.

Cette construction permet d'insérer deux moyennes proportionnelles entre deux valeurs a et b et en particulier, permet la résolution de la duplication du cube. Philon présente cette méthode dans un ouvrage de mécanique sur la construction d'arme de jet. En effet, il cherchait à doubler la puissance de ses armes et avait conclu que, pour doubler la puissance, il suffisait de doubler le volume de celles-ci[3].

Moyennes proportionnelles

Pour insérer deux moyennes proportionnelles entre les valeurs a et b , il suffit de construire un rectangle OBAC tel que OB = a et BA = b, de construire la droite de Philon pour les demi-droites [OB) et [OC) passant par A. Le point H fournit les deux moyennes proportionnelles. Si H_c est le projeté orthogonal de H sur (OC), on peut glisser deux moyennes proportionnelles entre b et a à l'aide de HH_c et OH_c.

En effet,

Puisque NH = AM, les triangles NH_cH et ABM sont égaux, la droite (H_cB) est parallèle à (MN) et l'on peut repérer une série de triangles semblables à NOM : H_cOB, HH_cO, NH_cH d'où l'on tire les égalités de rapports suivantes :

${\displaystyle {\frac {OB}{H_{c}O}}={\frac {H_{c}O}{HH_{c}}}={\frac {H_{c}H}{NH_{c}}}}$

Soit encore :

${\displaystyle {\frac {a}{H_{c}O}}={\frac {H_{c}O}{HH_{c}}}={\frac {H_{c}H}{b}}}$

Cette construction permet en outre de déterminer la racine cubique du rapport a/b et les deux longueurs peuvent être déterminées à l'aide de racines cubiques. Si on note x = OH_c et y = H_cH , on obtient

${\displaystyle {\frac {a}{x}}={\frac {x}{y}}={\frac {y}{b}}=t}$

En multipliant ces trois rapports entre eux, on en déduit :

${\displaystyle {\frac {a}{b}}=t^{3}}$

Soit encore

${\displaystyle t={\sqrt[{3}]{\frac {a}{b}}}}$

Ainsi, on obtient

${\displaystyle x={\sqrt[{3}]{a^{2}b}}}$

${\displaystyle y={\sqrt[{3}]{ab^{2}}}}$

En particulier, en prenant a = 1 et b = 2, la valeur x donne la racine cubique de 2.

Construction

Aucune construction à la règle et au compas ne permet de résoudre la duplication du cube, il en est donc de même de la droite de Philon. Mais elle peut être obtenue à l'aide de l'intersection de deux coniques : le point H est en effet situé sur le cercle de diamètre OA, ainsi que sur l'hyperbole d'équation xy = ab.