Critère de Nagumo

Soit f une fonction continue à valeurs dans un espace vectoriel normé E, définie sur un cylindre fermé S = [t₀ – c, t₀ + c] × B(u₀, r) de ℝ × E.

Si f vérifie sur S la condition

${\displaystyle |t-t_{0}|~\|f(t,u)-f(t,v)\|\leq \|u-v\|,}$

alors deux solutions quelconques du problème de Cauchy

${\displaystyle u'=f(t,u),\,\,\,u(t_{0})=u_{0}}$

coïncident sur tout sous-intervalle de [t₀ – c, t₀ + c] où elles sont définies toutes deux.

Soient u et v deux solutions du problème de Cauchy, définies par exemple sur un intervalle [t₀, t₁] avec t₁ > t₀, montrons[1] que u = v.

La fonction g définie sur cet intervalle par

${\displaystyle g(t)=\|u(t)-v(t)\|=\left\|\int _{t_{0}}^{t}f(s,u(s))-f(s,v(s))\mathrm {d} s\right\|}$

est nulle en t₀, mais aussi de dérivée (à droite) nulle en t₀, puisque quand t → t₀⁺,

${\displaystyle {g(t) \over t-t_{0}}=\left\|{u(t)-u_{0} \over t-t_{0}}-{v(t)-u_{0} \over t-t_{0}}\right\|\longrightarrow \|u'(t_{0})-v'(t_{0})\|=\|f(t_{0},u(t_{0}))-f(t_{0},v(t_{0}))\|=0.}$

Ces deux propriétés de g permettent de définir sur [t₀, t₁] une fonction h par

${\displaystyle h(t)=\int _{t_{0}}^{t}{g(s) \over s-t_{0}}\mathrm {d} s,}$

qui majore l'expression intégrale de g(t) d'après l'hypothèse du critère de Nagumo.

On obtient ainsi

${\displaystyle h'(t)={g(t) \over t-t_{0}}\leq {h(t) \over t-t_{0}},}$

autrement dit l'application t ↦ h(t)/(t – t₀) est décroissante sur ]t₀, t₁]. Comme elle est à valeurs positives et de limite nulle en t₀, elle est constamment nulle, donc g aussi.

Soit l'application ${\displaystyle f:\mathbb {R} \times \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ définie par

${\displaystyle f(t,u)={\sqrt {t^{2}+|u|}}}$

et soit le problème de Cauchy

${\displaystyle u'=f(t,u),\quad u(0)=0}$

L'application ${\displaystyle f}$ n'est pas lipschitzienne par rapport à u au voisinage de l'origine, en effet, on sait que ${\displaystyle f(0,u)={\sqrt {|u|}}}$ n'est pas lipschitzienne à l'origine.

Cependant, pour tout ${\displaystyle t\neq 0}$, on déduit du théorème des accroissements finis qu'il existe c entre ${\displaystyle t^{2}+|u|}$ et ${\displaystyle t^{2}+|v|}$ tel que

${\displaystyle {\sqrt {t^{2}+|u|}}-{\sqrt {t^{2}+|v|}}={|u|-|v| \over 2{\sqrt {c}}}}$

par conséquent, f satisfait le critère de Nagumo dans tout cylindre centré à l'origine puisque

${\displaystyle \left|{\sqrt {t^{2}+|u|}}-{\sqrt {t^{2}+|v|}}\right|\leq {|u-v| \over 2|t|}}$

pour tout ${\displaystyle u,v\in \mathbb {R} }$ et pour tout ${\displaystyle t\neq 0}$. On conclut donc que le problème de Cauchy possède une et une seule solution.

• Denis Bonheure, Équations différentielles ordinaires, notes de cours de l'Université catholique de Louvain
• (en) Adrian Constantin (de), « On Nagumo's theorem », Proc. Japan Acad. Ser. A, vol. 86, n^o 2,‎ 2010, p. 41-44 (lire en ligne)

Le critère d'Osgood dans (en) Gerald Teschl, Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems, AMS, 2012 (ISBN 978-0-82188328-0, lire en ligne), p. 58, qui fournit une condition suffisante d'unicité, moins restrictive que celle de Cauchy-Lipschitz.