Courbe de Lévy

• La dimension de Hausdorff de la courbe de Lévy égale 2 (elle contient des ensembles ouverts). Résultat déduit directement de sa construction par deux homothéties de rapport 1/√2.
• Sa frontière a une dimension estimée à environ 1,9340[4].
• La courbe de Lévy pave le plan[5].
• Si le segment d'origine a pour longueur 1, l'aire recouverte par la courbe de Lévy vaut 1/4[5].
• La courbe de Lévy est un des six 2-autopavés réguliers (peut être pavée par deux copies d'elle-même, de même taille)[6].
• Elle est un cas particulier de la courbe de De Rham (en).

Les huit premières itérations du L-système.

Après 12 itérations.

La construction de la courbe de Lévy part d'un segment de droite. Ce segment est remplacé par les deux côtés du triangle rectangle isocèle ayant le segment d'origine pour hypoténuse. A l'étape 2, la courbe est donc représentée par deux segments à angle droit. Par rapport au segment original ces deux segments sont réduits d'un facteur 1/√2.

On applique cette règle itérativement pour chaque nouveau segment créé.

Après n étapes, la courbe consiste en ${\displaystyle 2^{n}}$ segments de longueur réduits d'un facteur ${\displaystyle 2^{n/2}}$ par rapport au segment d'origine.

Le système de Lindenmayer associé peut ainsi être décrit comme suit :

Variables:	F
Constantes:	+ −
Axiome:	F
Règles:	F → +F−−F+

Où "F" signifie "avance tout droit", "+" signifie "tourne à droite à 45°", et "−" signifie "tourne à gauche à 45°".

L'ensemble limite de ce L-système est la courbe de Lévy.

Courbe de Lévy obtenue avec un générateur de système de fonctions itérées.

La construction d'une courbe de Lévy par un système de fonctions itérées s'appuie sur un ensemble de deux fonctions linéaires contractantes de rapport 1/√2[7]. La première introduit une rotation de 45°, la deuxième une rotation de -45°.

La courbe de Lévy C dans le plan complexe peut donc être définie comme l'attracteur de deux similitudes :

• h de centre 0 définie par ${\displaystyle h(z)={\frac {1}{2}}(1+\mathrm {i} )z}$
• l de centre 1 définie par ${\displaystyle l(z)={\frac {1}{2}}\left((1-\mathrm {i} )z+(1+\mathrm {i} )\right)}$.