Contiguïté (probabilités)

Soit ${\displaystyle (\Omega _{n},{\mathcal {F}}_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ une suite d'espaces mesurables. Soient ${\displaystyle (\mu _{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ et ${\displaystyle (\nu _{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ deux suites de mesures de probabilités sur ${\displaystyle (\Omega _{n},F_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$.

La suite ${\displaystyle \mu _{n}}$ est dite contiguë par rapport à la suite ${\displaystyle \nu _{n}}$ si pour toute séquence d'événements ${\displaystyle F_{n}\in {\mathcal {F}}_{n}}$, ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\nu _{n}(F_{n})=0\implies \lim \mu _{n}(F_{n})=0}$. On note alors ${\displaystyle \mu _{n}\triangleleft \nu _{n}}$[2].

Si on a à la fois ${\displaystyle \mu _{n}\triangleleft \nu _{n}}$ et ${\displaystyle \mu _{n}\triangleright \nu _{n}}$, les suites ${\displaystyle \mu _{n}}$ et ${\displaystyle \nu _{n}}$ sont dites mutuellement contiguës et l'on note ${\displaystyle \mu _{n}\triangleleft \triangleright \nu _{n}}$.

La contiguïté peut être vue comme une généralisation de l'absolue continuité aux suites de mesures de probabilité. Si dans la définition précédente les suites sont constantes, ${\displaystyle \mu _{n}=\mu }$, ${\displaystyle \nu _{n}=\nu }$ et ${\displaystyle F_{n}=F}$, on obtient que, si ${\displaystyle \nu (F)=0}$ alors ${\displaystyle \mu (F)=0}$, c'est-à-dire que ${\displaystyle \mu }$ est absolument continue par rapport à ${\displaystyle \nu }$.

La contiguïté est faite pour assurer l'absolue continuité des limites. Si deux suites de mesures de probabilité ${\displaystyle (\mu )_{n\in \mathbb {N} }}$ et ${\displaystyle (\mu )_{n\in \mathbb {N} }}$ convergent en distribution vers deux mesures ${\displaystyle \mu }$ et ${\displaystyle \nu }$, et que la suite ${\displaystyle (\mu )_{n\in \mathbb {N} }}$ est contigüe par rapport à ${\displaystyle (\nu )_{n\in \mathbb {N} }}$, alors ${\displaystyle \mu }$ est absolument continue par rapport à ${\displaystyle \nu }$.

Les deux définitions ci-dessous de la contiguïté sont équivalentes à celles données précédemment [3] .

Considérons comme plus haut une suite d'espaces mesurables ${\displaystyle (\Omega _{n},{\mathcal {F}}_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ et deux suites de mesures de probabilités ${\displaystyle (\mu _{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ et ${\displaystyle (\nu _{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ sur ${\displaystyle (\Omega _{n},F_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ .

• La suite ${\displaystyle (\mu _{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ est contiguë par rapport à ${\displaystyle (\nu _{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ si, pour toute suite de variables aléatoires ${\displaystyle X_{n}}$ , ${\displaystyle \left(\forall \eta ,\ \ \nu _{n}(|X_{n}|>\eta ){\underset {n\to \infty }{\to }}0\right)\implies \left(\forall \eta ,\ \ \mu _{n}(|X_{n}|>\eta ){\underset {n\to \infty }{\to }}0\right)}$. En d'autres termes, si ${\displaystyle X_{n}}$ tend vers 0 en probabilité sous la suite de mesures ${\displaystyle \nu _{n}}$, alors ${\displaystyle X_{n}}$tend aussi vers 0 sous la suite de mesures ${\displaystyle \mu _{n}}$ .
• La suite ${\displaystyle (\mu _{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ est contiguë par rapport à ${\displaystyle (\nu _{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ si ${\displaystyle \forall \varepsilon >0,\exists n_{0}\in \mathbb {N} ,\delta >0:{\underset {n\geq n_{0}}{\sup }}\left\{{\underset {F\in {\mathcal {F}}_{n}:\nu _{n}(F)<\delta }{\sup }}\{\mu _{n}(F)\}\right\}\leq \varepsilon }$ .

• Absolue continuité
• Normalité asymptotique locale (en)
• Lucien Le Cam